Question

某學(xué)校舉辦“有獎(jiǎng)答題”活動，每位選手最多答10道題，每道題對應(yīng)1份獎(jiǎng)品，每份獎(jiǎng)品價(jià)值相同．若選手答對一道題，則得到該題對應(yīng)的獎(jiǎng)品．答對一道題之后可選擇放棄答題或繼續(xù)答題，若選擇放棄答題，則得到前面答對題目所累積的獎(jiǎng)品；若選擇繼續(xù)答題，一旦答錯(cuò)，則前面答對題目所累積的獎(jiǎng)品將全部送給現(xiàn)場觀眾，結(jié)束答題．假設(shè)某選手答對每道題的概率均為

2

3

，且各題之間答對與否互不影響．已知該選手已經(jīng)答對前6道題．
（Ⅰ）如果該選手選擇繼續(xù)答題，并在最后4道題中，在每道題答對后都選擇繼續(xù)答題．
（�。┣笤撨x手第8題答錯(cuò)的概率；
（ⅱ）記該選手所獲得的獎(jiǎng)品份數(shù)為ξ，寫出隨機(jī)變量ξ的所有可能取值并求ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ；
（Ⅱ）如果你是該選手，你是選擇繼續(xù)答題還是放棄答題？若繼續(xù)答題你將答到第幾題？請用概率或統(tǒng)計(jì)的知識給出一個(gè)合理的解釋．

Answer 1

分析：（1）選手答對每道題的概率均為

2

3

，且各題之間答對與否互不影響，本題是一個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率．根據(jù)選手已經(jīng)答對前6道題，選手第8題答錯(cuò)包含第8道題答錯(cuò)且第7道題答錯(cuò)．
（2）可以計(jì)算一下若選擇繼續(xù)答第7題，則答完該題后獲得的獎(jiǎng)品份數(shù)η的數(shù)學(xué)期望，得到的期望小于6，選擇放棄答題．

解答：解：（1）∵選手答對每道題的概率均為

2

3

，且各題之間答對與否互不影響，
∴本題是一個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率．
（i）記“選手答對第i題”為事件A_i，則P（A_i）=

2

3

（i=1、2、3…10）
P（A）=P（A7

.

A8

）=P（A₇）P（

.

A8

）=

2

3

×

1

3

=

2

9

，
該選手第8題答錯(cuò)的概率為

2

9

．
（ii）ξ的所有可能值為0，10
P（ξ=10）=P（A₇A₈A₉A₁₀）=

2

3

×

2

3

×

2

3

×

2

3

=

16

81

P（ξ=0）=1-P（ξ=10）=1-

16

81

=

65

81

∴Eξ=0×

65

81

+10×

16

81

=

160

81

（2）如果我是選手，那么答對前6個(gè)題后放棄答題．理由如下：
若選擇繼續(xù)答第7題，則答完該題后獲得的獎(jiǎng)品份數(shù)η的數(shù)學(xué)期望
Eη=0×

1

3

+7×

2

3

=

14

3

＜6，
∴選擇放棄答題．

點(diǎn)評：概率教學(xué)的核心問題是讓學(xué)生了解隨機(jī)現(xiàn)象與概率的意義，加強(qiáng)與實(shí)際生活的聯(lián)系，以科學(xué)的態(tài)度評價(jià)身邊的一些隨機(jī)現(xiàn)象．