Question

已知數列{a_n}，構造一個新數列a₁，（a₂-a₁），（a₃-a₂），…，（a_n-a_n-1），…，此數列是首項為1，公比為

1

3

的等比數列．
（1）求數列{a_n}的通項；
（2）求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）因為新數列a₁，（a₂-a₁），（a₃-a₂），…，（a_n-a_n-1），…，此數列是首項為1，公比為

1

3

的等比數列，根據等比數列的通項公式可得數列{a_n}的通項；
（2）根據等比數列的求和公式得到即可．

解答：解：（1）由題意a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=

1-( 1 3 )n

1- 1 3

=

3

2

[1-（

1

3

）ⁿ]．
（2）S_n=

3

2

[n-（

1

3

+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

）]=

3

2

[n-

1

2

（1-

1

3n

）]=

3

2

n-

3

4

+

1

4•3n-1

．

點評：考查學生對等比數列性質的掌握能力，以及數列求和和數列遞推式的方法．