Question

8．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，離心率為$\frac{1}{2}$，且與拋物線(xiàn)y²=4x有共同的焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)l：y=kx+m與橢圓C相切于N點(diǎn)，且與直線(xiàn)x=4交于M點(diǎn)，試探究，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得以MN為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)P？

Answer 1

分析 （Ⅰ）由拋物線(xiàn)方程求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得橢圓的半焦距，結(jié)合離心率求得a，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，由判別式等于0得到k與m的關(guān)系，求得N，M的坐標(biāo)，分別取k，m的兩組值，求出以NM為直徑的圓所過(guò)定點(diǎn)，證明普遍性得答案．

解答 解：（Ⅰ）由拋物線(xiàn)y²=4x，得拋物線(xiàn)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
∴橢圓焦點(diǎn)在x軸上，且c=1，又e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，∴a=2．
∴b²=a²-c²=3．
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消元可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．
∵動(dòng)直線(xiàn)l：y=kx+m與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)N（x₀，y₀）
∴m≠0，△=0，∴（8km）²-4×（4k²+3）×（4m²-12）=0．
即4k²-m²+3=0，①
此時(shí)x₀=-$\frac{4km}{4{k}^{2}+3}$=-$\frac{4k}{m}$，y₀=$\frac{3}{m}$，即N（-$\frac{4k}{m}$，$\frac{3}{m}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{x=4}\end{array}\right.$，得M（4，4k+m），
取k=0，m=$\sqrt{3}$，此時(shí)N（0，$\sqrt{3}$），M（4，$\sqrt{3}$），以NM為直徑的圓為（x-2）²+（y-$\sqrt{3}$）²=4，交x軸于點(diǎn)P₁（1，0）或P₂（3，0）．
取k=-$\frac{1}{2}$，m=2，此時(shí)N（1，$\frac{3}{2}$），M（4，0），以NM為直徑的圓為（x-$\frac{5}{2}$）²+（y-$\frac{3}{4}$）²=$\frac{45}{16}$，交x軸于點(diǎn)P₃（1，0）或P₄（4，0）．
故若滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P存在，只能是P（1，0），證明如下：
∵$\overrightarrow{PN}$=（-$\frac{4k}{m}-1$，$\frac{3}{m}$），$\overrightarrow{PM}$=（3，4k+m），
∴$\overrightarrow{PN}•\overrightarrow{PM}$=-$\frac{12k}{m}$-3+$\frac{12k}{m}$+3=0．
故以NM為直徑的圓恒過(guò)x軸上的定點(diǎn)P（1，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線(xiàn)的定義域性質(zhì)、圓的性質(zhì)、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力，考查化歸思想，屬于中檔題．