【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓短軸的兩個頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)的連線構(gòu)成等邊三角形，兩準(zhǔn)線之間的距離為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，.已知.

①求的值；

②當(dāng)的面積最大時，求直線的方程.

【答案】（1）；（2）①；②.

【解析】

（1）設(shè)橢圓的焦距為，則.利用短軸的兩個頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)的連線構(gòu)成等邊三角形，求出，，然后求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）①設(shè)，，，，聯(lián)立利用韋達(dá)定理，通過直線的斜率求解即可；②由①得，直線的方程為，然后求解弦長，點(diǎn)到直線的距離，求解三角形的面積，然后求解即可.

解：（1）設(shè)橢圓的焦距為，則.

因為短軸的兩個頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)的連線構(gòu)成等邊三角形，

所以.

又兩準(zhǔn)線間的距離為，則，

所以，，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）①設(shè)，，，，

聯(lián)立消去得，

，化簡得，

所以，，

又的斜率，的斜率，

所以，

化簡得，

所以.又因為，即，

又，所以.

②由①得，直線的方程為，

且，，.

又，所以.

所以

，

點(diǎn)到直線的距離，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時，的面積最大，

所以，直線的方程為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】過橢圓的左頂點(diǎn)作斜率為2的直線，與橢圓的另一個交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為，已知.

（1）求橢圓的離心率；

（2）設(shè)動直線與橢圓有且只有一個公共點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn)，若軸上存在一定點(diǎn)，使得，求橢圓的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓： 的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的長半軸為半徑的圓與直線相切.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知點(diǎn)， 為動直線與橢圓的兩個交點(diǎn)，問：在軸上是否存在點(diǎn)，使為定值？若存在，試求出點(diǎn)的坐標(biāo)和定值，若不存在，請說明理由.

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【題目】稠環(huán)芳香烴化合物中有不少是致癌物質(zhì)，比如學(xué)生鐘愛的快餐油炸食品中會產(chǎn)生苯并芘，它是由一個苯環(huán)和一個芘分子結(jié)合而成的稠環(huán)芳香烴類化合物，長期食用會致癌.下面是一組稠環(huán)芳香烴的結(jié)構(gòu)簡式和分子式：

名稱

萘

蒽

并四苯

…

并n苯

結(jié)構(gòu)簡式

…

…

分子式

…

…

由此推斷并十苯的分子式為________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．

（1）求直線與曲線的普通方程；

（2）若直線與曲線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一款小游戲的規(guī)則如下：每輪游戲要進(jìn)行三次，每次游戲都需要從裝有大小相同的2個紅球，3個白球的袋中隨機(jī)摸出2個球，若摸出的“兩個都是紅球”出現(xiàn)3次獲得200分，若摸出“兩個都是紅球”出現(xiàn)1次或2次獲得20分，若摸出“兩個都是紅球”出現(xiàn)0次則扣除10分（即獲得分）．

（1）設(shè)每輪游戲中出現(xiàn)“摸出兩個都是紅球”的次數(shù)為，求的分布列；

（2）玩過這款游戲的許多人發(fā)現(xiàn)，若干輪游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒有增加反而減少了，請運(yùn)用概率統(tǒng)計的相關(guān)知識分析解釋上述現(xiàn)象．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】公元五世紀(jì)，數(shù)學(xué)家祖沖之估計圓周率的值的范圍是：，為紀(jì)念數(shù)學(xué)家祖沖之在圓周率研究上的成就，某教師在講授概率內(nèi)容時要求學(xué)生從小數(shù)點(diǎn)后的6位數(shù)字1，4，1，5，9，2中隨機(jī)選取兩個數(shù)字做為小數(shù)點(diǎn)后的前兩位（整數(shù)部分3不變），那么得到的數(shù)字大于3.14的概率為（ ）

A.B.C.D.

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【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．

（1）求直線與曲線的普通方程；

（2）若直線與曲線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】噪聲污染已經(jīng)成為影響人們身體健康和生活質(zhì)量的嚴(yán)重問題，為了了解聲音強(qiáng)度（單位：分貝）與聲音能量（單位：）之間的關(guān)系，將測量得到的聲音強(qiáng)度和聲音能量（=1，2…，10）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如圖散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計量的值.

45.7

0.51

5.1

表中，．

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個適宜作為聲音強(qiáng)度關(guān)于聲音能量的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求聲音強(qiáng)度關(guān)于聲音能量的回歸方程；

（3）當(dāng)聲音強(qiáng)度大于60分貝時屬于噪音，會產(chǎn)生噪音污染，城市中某點(diǎn)共受到兩個聲源的影響，這兩個聲源的聲音能量分別是和，且.己知點(diǎn)的聲音能量等于聲音能量與之和．請根據(jù)（1）中的回歸方程，判斷點(diǎn)是否受到噪音污染的干擾，并說明理由．

附：對于一組數(shù)據(jù).其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：.

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