已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在軸上，離心率為，且橢圓E上一點到兩個焦點距離之和為4；，是過點且相互垂直的兩條直線，交橢圓E于，兩點，交橢圓E于，兩點，，的中點分別為，．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）求直線的斜率的取值范圍；
（3）求證直線與直線的斜率乘積為定值．
（1）． （2）． （3）
本試題主要是考出了橢圓方程的求解，已知直線與橢圓的位置關系的運用，求解直線的斜率問題，韋達定理的運用，以及判別式的綜合運用。
（1）結合橢圓的性質，得到關于a,b,c的關系式，進而得到結論。
（2）設出直線方程，直線與橢圓的方程聯(lián)立，得到關于未知數(shù)的一元二次方程，然后借助于韋達定理和判別式得到k的取值范圍。
（3）利用兩點式得到直線的斜率，借助于韋達定理求證其積為定值。
（1）設橢圓E的方程為，
由得所以所求橢圓E的標準方程為． …… 4分
（2）由題意知，直線的斜率存在且不為零，由于，則，
由消去并化簡整理，得， …… …… 6分
根據題意，，解得 ，同理可得，即，
∴有，解得．    …… 8分
（3）設，，，那么，
則 ，，即， 10分
同理可得，即，
∴ ，即直線與直線的斜率乘積為定值
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）
已知點為圓上的動點，且不在軸上，軸，垂足為，線段中點的軌跡為曲線，過定點任作一條與軸不垂直的直線，它與曲線交于、兩點。
（I）求曲線的方程；
（II）試證明：在軸上存在定點，使得總能被軸平分

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知M、N是橢圓上關于原點對稱的兩點，P是橢圓上任意一點，且直線PM、PN的斜率分別為k1、k2（），若的最小值為1，則橢圓的離心率為           。

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本題滿分15分）設橢圓的離心率右焦點到直線的距離，為坐標原點。

（Ⅰ)求橢圓的方程；
（Ⅱ)過點作兩條互相垂直的射線，與橢圓分別交于兩點，證明點到直線的距離為定值，并求弦長度的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

．（本小題滿分12分）
在平面直角坐標系中，點為動點，已知點，，直線與的斜率之積為.
（I）求動點軌跡的方程;
（II）過點的直線交曲線于兩點，設點關于軸的對稱點為(不重合)，求證：直線過定點.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分14分）
已知橢圓的離心率為，點， 為上兩點，斜率為的直線與橢圓交于點，（，在直線兩側）．

（I）求四邊形面積的最大值；
（II）設直線，的斜率為，試判斷是否為定值．若是，求出這個定值；若不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分14分）已知橢圓以 為焦點，且離心率． 
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點斜率為的直線與橢圓有兩個不同交點，求的范圍。
（Ⅲ）設橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點分別為，是否存在直線，滿足（Ⅱ）中的條件且使得向量與垂直？如果存在，寫出的方程；如果不存在，請說明理由。

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，點是雙曲線上的動點，是雙曲線的焦點，是的平分線上一點，且.某同學用以下方法研究：延長交于點，可知為等腰三角形，且為的中點，得.類似地：點是橢圓上的動點，是橢圓的焦點，是的平分線上一點，且，則的取值范圍是          .

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

經過兩點的橢圓標準方程(    ).
A．B．C．D．

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