Question

 （08年揚(yáng)州中學(xué)） 已知P是橢圓C：上異于長軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，A為長軸的左端點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓的右準(zhǔn)線與x軸、直線AP分別交于點(diǎn)K、M，．

（Ⅰ）若橢圓的焦距為6，求橢圓C的方程；

（Ⅱ）若，求證：．

Answer 1

解析:（Ⅰ）解一：由得，，，………………………2分

∴  ，…………………………………………………………………4分

從而橢圓方程是．…………………………………………………………6分

解二：記，由，

得，

∵，∴    ，………………………………………………………2分

又，，∴  ，…………………………………………4分

從而橢圓方程是． ………………………………………………………6分

（Ⅱ）解一：點(diǎn)同時滿足

和

消去并整理得：，……………………………8分

此方程必有兩實根，一根是點(diǎn)的模坐標(biāo)，另一根是點(diǎn)的模坐標(biāo)，

，，…………………………………………10分

∴  ，

∴  ，…………………………12分

由代入上式可得．

∴  ．．          ………………………………………………14分

解二：由（Ⅰ），，可設(shè)，，則，

橢圓方程可為，即，…………………………8分

設(shè)直線AM的方程為（存在且），

代入，

整理得，…………………………10分

此方程兩根為A、P兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

由韋達(dá)定理，

∴  ，從而．

由于=，，       …………………………12分

 

∴  ．．        ………………………………………………14分