【題目】在一般情況下,城市主干道上的車流速度 (單位:千米/小時)是車流密度 (單位:輛/千米)的函數(shù)。當(dāng)主干道上的車流密度達到200輛/千米時,造成堵塞,此時車流速度為0千米/小時;當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時,車流速度為60千米/小時。研究表明:當(dāng) 時,車流速度 是車流密度 的一次函數(shù)。
(1)當(dāng) 時,求函數(shù) 的表達式;
(2)當(dāng)車流密度為多大時,車流量(單位時間內(nèi)通過主干道上某觀測點的車輛數(shù),單位:輛/小時) 可以達到最大?并求出最大值。(精確到1輛/小時)
【答案】
(1)
由題意:當(dāng)0≤x≤20時,v(x)=60;當(dāng)20<x≤200時,設(shè)v(x)=ax+b
再由已知得 ,解得 .
故函數(shù)v(x)的表達式為 .
答:函數(shù)v(x)的表達式 ;
(2)
依題并由(Ⅰ)可得 ,
當(dāng)0≤x<20時,f(x)為增函數(shù),故當(dāng)x=20時,其最大值為60×20=1200,
當(dāng)20≤x≤200時,f(x)= ,當(dāng)且僅當(dāng)x=200-x,即x=100時,等號成立.
綜上所述,當(dāng)x=100時,f(x)在區(qū)間[0,200]上取得最大值為 ≈3333,
即當(dāng)車流密度為100輛/千米時,車流量可以達到最大值,最大值約為3333輛/小時.
答:當(dāng)車流密度為100輛/千米時,車流量可以達到最大值,最大值約為3333輛/小時.
【解析】(1)根據(jù)題意,函數(shù)v(x)表達式為分段函數(shù)的形式,關(guān)鍵在于求函數(shù)v(x)在20≤x≤200時的表達式,根據(jù)一次函數(shù)表達式的形 式,用待定系數(shù)法可求得;(2)先在區(qū)間(0,20]上,函數(shù)f(x)為增函數(shù),得最大值為f(20)=1200,然后在區(qū)間[20,200]上用基本不 等式求出函數(shù)f(x)的最大值,用基本不等式取等號的條件求出相應(yīng)的x值,兩個區(qū)間內(nèi)較大的最大值即為函數(shù)在區(qū)間(0,200]上的最大值.
【考點精析】本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用的相關(guān)知識點,需要掌握用基本不等式求最值時(積定和最小,和定積最大),要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,圓與軸負半軸交于點,過點 的直線,分別與圓交于,兩點.
(1)若,,求△的面積;
(2)過點作圓O的兩條切線,切點分別為E,F(xiàn),求;
(3)若,求證:直線過定點.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB為圓O的直徑,C在圓O上,CF⊥AB于F,點D為線段CF上任意一點,延長AD交圓O于E,∠AEC=30°.
(1)求證:AF=FO;
(2)若CF= ,求ADAE的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是東西方向的公路北側(cè)的邊緣線,某公司準(zhǔn)備在上的一點的正北方向的處建設(shè)一倉庫,設(shè),并在公路北側(cè)建造邊長為的正方形無頂中轉(zhuǎn)站(其中在上),現(xiàn)從倉庫向和中轉(zhuǎn)站分別修兩條道路,已知,且.
(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式,并求出定義域;
(2)如果中轉(zhuǎn)站四堵圍墻造價為10萬元,兩條道路造價為30萬元,問:取何值時,該公司建設(shè)中轉(zhuǎn)站圍墻和兩條道路總造價最低.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況,在一般情況下,大橋上的車流速度v(單位:千米/小時)是車流密度x(單位:輛/千米)的函數(shù),當(dāng)橋上的車流密度達到200輛/千米時,造成堵塞,此時車流速度為0;當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時,車流速度為60千米/小時,研究表明:當(dāng)20≤x≤200時,車流速度v是車流密度x的一次函數(shù).
(1)當(dāng)0≤x≤200時,求函數(shù)v(x)的表達式;
(2)當(dāng)車流密度x為多大時,車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù),單位:輛/小時)f(x)=xv(x)可以達到最大,并求出最大值.(精確到1輛/小時).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“紅燈停,綠燈行”,這是我們每個人都應(yīng)該也必須遵守的交通規(guī)則.湊齊一撥人就過馬路﹣﹣不看交通信號燈、隨意穿行交叉路口的“中國式過馬路”不僅不文明而且存在很大的交通安全隱患.一座城市是否存在“中國式過馬路”是衡量這座城市文明程度的重要指標(biāo).某調(diào)查機構(gòu)為了了解路人對“中國式過馬路”的態(tài)度,從馬路旁隨機抽取30名路人進行了問卷調(diào)查,得到了如下列聯(lián)表:
男性 | 女性 | 合計 | |
反感 | 10 | ||
不反感 | 8 | ||
合計 | 30 |
已知在這30人中隨機抽取1人抽到反感“中國式過馬路”的路人的概率是.
(1)請將上面的列聯(lián)表補充完整(在答題卷上直接填寫結(jié)果,不需要寫求解過程),并據(jù)此列聯(lián)表數(shù)據(jù)判斷是否有95%的把握認為反感“中國式過馬路”與性別有關(guān)?
(2)若從這30人中的女性路人中隨機抽取2人參加一項活動,記反感“中國式過馬路”的人數(shù)為X,求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望.
附:,其中n=a+b+c+d
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)若函數(shù)的圖像在公共點P處有相同的切線,求實數(shù)m的值和P的坐標(biāo);
(2)若函數(shù)的圖像有兩個不同的交點M、N,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,過線段MN的中點作x軸的垂線分別與的圖像和的圖象交于S、T點,以S點為切點作以T為切點作的切線,是否存在實數(shù)m,使得?如果存在,求出m的值;如果不存在,請說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】寫出下列各組命題構(gòu)成的“p或q”、“p且q”以及“非p”形式的命題,并判斷它們的真假.
(1) 是有理數(shù),q: 是整數(shù);
(2)不等式x2-2x-3>0的解集是(-∞,-1),q:不等式x2-2x-3>0的解集是(3,+∞).
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