(本小題滿分14分)

(本題滿分14分)設(shè)函數(shù)∈R

(1)若的極值點,求實數(shù);

(2)求實數(shù)的取值范圍,使得對任意的(0,3],恒有≤4成立.

注:為自然對數(shù)的底數(shù)。

 

【答案】

(1) 或;(2).

【解析】第一問利用導(dǎo)數(shù)在的極值點,先求導(dǎo),然后在x=e處的導(dǎo)數(shù)值為零得到a的值。

第二問中,要是對任意的(0,3],恒有≤4成立,只需求解函數(shù)y=f(x)在給定區(qū)間(0,3]的最大值小于等于4即可。

解:(1)求導(dǎo)得f’(x)=2(x-a)lnx+=()(2ln x+1-).(2分)

 因為x=e是f(x)的極值點,所以f’(e)= ,(3分)

解得 或,經(jīng)檢驗,符合題意,所以 或。(4分)

(2)解:①當(dāng)時,對于任意的實數(shù)a,恒有成立,(6分)

    ②當(dāng),由題意,首先有,

     解得             (7分)

由(Ⅰ)知,

,,

 且

=。               (8分)

在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以函數(shù)在(0,+∞)內(nèi)有唯一零

點,記此零點為,則,。從而,當(dāng)時,;

當(dāng)時,;當(dāng)時,,即內(nèi)

單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增。     (10分)

所以要使恒成立,只要

        成立。

,知(3)

將(3)代入(1)得,                   (12分)

,注意到函數(shù)在[1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,故

再由(3)以及函數(shù)2xlnx+x在(1.+ +∞)內(nèi)單調(diào)遞增,可得

由(2)解得,。

所以

綜上,a的取值范圍為。                (14分)

 

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相關(guān)習(xí)題

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(2011•廣東模擬)(本小題滿分14分 已知函數(shù)f(x)=
3
sin2x+2sin(
π
4
+x)cos(
π
4
+x)

(I)化簡f(x)的表達式,并求f(x)的最小正周期;
(II)當(dāng)x∈[0,
π
2
]  時,求函數(shù)f(x)
的值域.

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(本小題滿分14分)設(shè)橢圓C1的方程為(ab>0),曲線C2的方程為y=,且曲線C1C2在第一象限內(nèi)只有一個公共點P。(1)試用a表示點P的坐標(biāo);(2)設(shè)A、B是橢圓C1的兩個焦點,當(dāng)a變化時,求△ABP的面積函數(shù)S(a)的值域;(3)記min{y1,y2,……,yn}為y1,y2,……,yn中最小的一個。設(shè)g(a)是以橢圓C1的半焦距為邊長的正方形的面積,試求函數(shù)f(a)=min{g(a), S(a)}的表達式。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年江西省撫州市教研室高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)理卷(A) 題型:解答題

(本小題滿分14分)
已知=2,點()在函數(shù)的圖像上,其中=.
(1)證明:數(shù)列}是等比數(shù)列;
(2)設(shè),求及數(shù)列{}的通項公式;
(3)記,求數(shù)列{}的前n項和,并證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆山東省威海市高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

 (本小題滿分14分)

某網(wǎng)店對一應(yīng)季商品過去20天的銷售價格及銷售量進行了監(jiān)測統(tǒng)計發(fā)現(xiàn),第天()的銷售價格(單位:元)為,第天的銷售量為,已知該商品成本為每件25元.

(Ⅰ)寫出銷售額關(guān)于第天的函數(shù)關(guān)系式;

(Ⅱ)求該商品第7天的利潤;

(Ⅲ)該商品第幾天的利潤最大?并求出最大利潤.

 

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(本小題滿分14分)已知的圖像在點處的切線與直線平行.

⑴ 求滿足的關(guān)系式;

⑵ 若上恒成立,求的取值范圍;

⑶ 證明:

 

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