(2011•天津模擬)設數(shù)列{an}滿足a1=a,an+1=can+1-c(n∈N*),其中a,c為實數(shù),且c≠0.
(1)求證:a≠1時數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列,并求an;
(2)設a=
1
2
c=
1
2
,bn=n(1-an)(n∈N*)
,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn;
(3)設a=
3
4
,c=-
1
4
,cn=
3+an
2-an
(n∈N*),記dn=c2n-c2n-1(n∈N*)
,設數(shù)列{dn}的前n項和為Tn,求證:對任意正整數(shù)n都有Tn
5
3
分析:(1)由an+1=can+1-c可知 an+1-1=c(an-1)故a≠1時數(shù)列{an-1}是首項為a-1公比為c的等比數(shù)列故可求出即  an=(a-1)cn-1+1
(2)由(1)知bn=n(
1
2
)
n
則由通項公式的結構知應利用錯位相減法求前n項和Sn
(3)由(1)知 cn=
3+an
2-an
= 4+ 
5
(-4)n-1
故可得dn的表達式為dn=c2n-c2n-1=
25×16n
(16n-1)(16n+4)
而要證明的結論為對任意正整數(shù)n都有Tn
5
3
故dn的表達式需要變形.而(16n-1)(16n+4)=(16n2-3×16n-4故對所有的n都有(16n-1)(16n+4)=(16n2-3×16n-4>(16n2dn
25
16n
則可求證出Tn<25×(
1
16
+
1
162
+…+
1
16n
)
=
5
3
(1-
1
16n
)<
5
3
解答:解:(1)∵an+1=can+1-c
∴an+1-1=c(an-1)
∴a≠1時數(shù)列{an-1}是首項為a-1公比為c的等比數(shù)列
∴an-1=(a-1)cn-1即an=(a-1)cn-1+1
(2)由(1)得當a=
1
2
,c=
1
2
bn=n(
1
2
)
n

sn=
1
2
+2(
1
2
)
2
+…+n(
1
2
)
n

1
2
sn=(
1
2
)
2
+…+n(
1
2
)
2

        兩式作差得sn=
1-(
1
2
)
2
1-
1
2
-n(
1
2
)
n
=2-
n+2
2n

(3)∵cn=
3+an
2-an
= 4+ 
5
(-4)n-1

dn=c2n-c2n-1=
25×16n
(16n-1)(16n+4)
=
25×16n
(16n)2+3×16n-4
25×16n
(16n)2
=
25
16n

Tn<25×(
1
16
+
1
162
+…+
1
16n
)
=
5
3
(1-
1
16n
)<
5
3
點評:此題主要考查了數(shù)列與不等式的綜合.第一問需要將遞推關系式an+1=can+1-c變形為 an+1-1=c(an-1)這是根據(jù)第一問的要求變形的這也是平時做題的一個常用技巧“由果索因”.第二問可以在第一問的基礎上求出數(shù)列{bn}的通項公式在觀察其特征后采用錯位相減法求前n項和因此第一問的正確求解就顯得十分重要了.第三問需要對數(shù)列{dn}的通項公式進行放縮,這一步技巧性較大需要平時的大量積累!
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OA
=(1,-2),
OB
=(a,-1),
OC
=(-b,0),a>0,b>0
,O為坐標原點,若A、B、C三點共線,則
1
a
+
2
b
的最小值是( 。

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3
cosωx(ω>0)的圖象與x軸的兩個相鄰交點的距離等于
π
2
,若將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移
π
6
個單位得到函數(shù)y=g(x)的圖象,則y=g(x)是減函數(shù)的區(qū)間為(  )

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