Question

【題目】已知數(shù)列滿(mǎn)足，對(duì)每個(gè)正整數(shù)，有或.如這個(gè)數(shù)列可以為1，2，4，6，10….

（1）若某一項(xiàng)為奇數(shù)，且不為3的倍數(shù)，證明：；

（2）證明：；

（3）若在的前2015項(xiàng)中，恰有t個(gè)項(xiàng)為奇數(shù)，求t的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）1343

【解析】

（1）由am不為偶數(shù)，知.

于是，.

假如，則為3的倍數(shù)，與已知條件矛盾.

從而，只能是.

故.

（2）由遞推關(guān)系，易知數(shù)列是單調(diào)遞增的.

因此，當(dāng)時(shí)，.

從而，，即.

由此，.

故

（3）一方面，數(shù)列的任意相鄰三項(xiàng)至多有兩個(gè)奇數(shù).

事實(shí)上，假如均為奇數(shù)，由均為偶數(shù)，故根據(jù)遞推關(guān)系知為偶數(shù)，矛盾.

因此，在這671組數(shù)中，每組至多含兩個(gè)奇數(shù).

再考慮到為奇數(shù)，為偶數(shù)，故至多有個(gè)奇數(shù)，即.

另一方面 ，當(dāng)數(shù)列總滿(mǎn)足時(shí)，注意到，為奇數(shù)，為偶數(shù)，故對(duì)每個(gè)正整數(shù)k，由遞推關(guān)系得為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，此時(shí)，數(shù)列的前2015項(xiàng)含有1343個(gè)奇數(shù).

綜上，t的最大值1343.