Question

【題目】已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)．求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，

由已知橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1，

可得：a+c=3，a﹣c=1，

∴a=2，c=1

∴b2=a2﹣c2=3

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）

聯(lián)立 ，消去y可得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，

則

又

因?yàn)橐訟B為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)D（2，0），∴kADkBD=﹣1，即

∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴

∴7m2+16mk+4k2=0

解得： ，且均滿足3+4k2﹣m2＞0

當(dāng)m1=﹣2k時(shí)，l的方程y=k（x﹣2），直線過點(diǎn)（2，0），與已知矛盾；

當(dāng) 時(shí)，l的方程為 ，直線過定點(diǎn)

所以，直線l過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為

【解析】（1）由已知橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1，可得：a+c=3，a﹣c=1，從而可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與橢圓方程聯(lián)立，利用以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)D（2，0），結(jié)合根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系求解，即可求得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．