Question

如圖，線段AB過y軸負半軸上一點M（0，a），A、B兩點到y(tǒng)軸距離的差為2k．
（Ⅰ）若AB所在的直線的斜率為k（k≠0），求以y軸為對稱軸，且過A、O、B三點的拋物線的方程；
（Ⅱ）設（1）中所確定的拋物線為C，點M是C的焦點，若直線AB的傾斜角為60°，又點P在拋物線C上由A到B運動，試求△PAB面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意設所求的拋物線方程為x²=-2py（p＞0），直線AB的方程為y=kx+a，由得x²+2pkx+2pa=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜0，x₂＞0，y₁＜0，y₂＜0），x₁+x₂=-2pk，若|x₁|-|x₂|=2k可求p
（2）解法1：可得直線AB的方程為，解方程組可求點A，B，從而可求AB，設點P（m，n），依題意知，且，根據點P到直線AB的距離=可求面積的最大值
解法2：直線AB的方程為，由得，，x₁x₂=-1，
以下同法一
解答：（1）解：依題意設所求的拋物線方程為x²=-2py（p＞0），----------（1分）
∵直線AB的斜率為k且過點M（0，a）∴直線AB的方程為y=kx+a
由得x²+2pkx+2pa=0----------①------------------（3分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜0，x₂＞0，y₁＜0，y₂＜0）
則x₁，x₂是方程①的兩個實根
∴x₁+x₂=-2pk，若|x₁|-|x₂|=2k
則-x₁-x₂=2k，-2pk=-2k∴p=1---------------------------（5分）
若|x₂|-|x₁|=2k則x₁+x₂=-2pk=2k∴p=-1與p＞0矛盾----（6分）
∴該拋物線的方程為x²=-2y．-------（7分）
（2）解法1：拋物線x²=-2y的焦點為（）即M點坐標為（）
直線AB的斜率
∴直線AB的方程為，-----------------（8分）
解方程組得
即點A，B-------------------（10分）
∴
設點P（m，n），依題意知，且
則點P到直線AB的距離==
當時，d_max=1，--------------------------------（13分）
這時=．-----------------------（15分）
解法2：拋物線x²=-2y的焦點為（）即M點坐標為（）
直線AB的斜率
∴直線AB的方程為，
由得∴，x₁x₂=-1，
∴=[以下同上]
點評：本題主要考查了利用拋物線的性質求解拋物線的方程，直線與拋物線的位置關系的應用，點到直線的距離公式的應用，利用二次函數的性質求解函數的最值等知識的綜合應用，要注意方程的思想的應用．