經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線相切的動(dòng)圓的圓心軌跡為.點(diǎn)、在軌跡上,且關(guān)于軸對(duì)稱,過(guò)線段(兩端點(diǎn)除外)上的任意一點(diǎn)作直線,使直線與軌跡在點(diǎn)處的切線平行,設(shè)直線與軌跡交于點(diǎn)、.
(1)求軌跡的方程;
(2)證明:;
(3)若點(diǎn)到直線的距離等于,且△的面積為20,求直線的方程.
(1);(2)詳見(jiàn)解析;(3).
【解析】
試題分析:(1)方法1是利用直接法,設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為,根據(jù)題中條件列式并化簡(jiǎn)進(jìn)而求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;方法2是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓心到定點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到定直線的距離,利用拋物線的定義寫(xiě)出軌跡的方程;(2)由于軸,利用直線與直線的斜率互為相反數(shù)證明;(3)方法1是先將的方程與拋物線的方程聯(lián)立求出點(diǎn)的坐標(biāo),并根據(jù)一些幾何性質(zhì)求出、,并將的面積用點(diǎn)的坐標(biāo)表示以便于求出點(diǎn)的坐標(biāo),結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線的方程;方法2是利用(2)中的條件與結(jié)論,利用直線確定點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系,借助弦長(zhǎng)公式求出、,并將的面積用點(diǎn)的坐標(biāo)表示以便于求出點(diǎn)的坐標(biāo),結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線的方程.
試題解析:(1)方法1:設(shè)動(dòng)圓圓心為,依題意得,. 1分
整理,得.所以軌跡的方程為. 2分
方法2:設(shè)動(dòng)圓圓心為,依題意得點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和點(diǎn)到定直線的距離相等,
根據(jù)拋物線的定義可知,動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線. 1分
且其中定點(diǎn)為焦點(diǎn),定直線為準(zhǔn)線.
所以動(dòng)圓圓心的軌跡的方程為. 2分
(2)由(1)得,即,則.
設(shè)點(diǎn),由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知,直線的斜率為
. 3分
由題意知點(diǎn).設(shè)點(diǎn),,
則,
即. 4分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092000190384191803/SYS201309200020172200142078_DA.files/image032.png">,. 5分
由于,即. 6分
所以. 7分
(3)方法1:由點(diǎn)到的距離等于,可知. 8分
不妨設(shè)點(diǎn)在上方(如圖),即,直線的方程為:.
由
解得點(diǎn)的坐標(biāo)為. 10分
所以.
由(2)知,同理可得. 11分
所以△的面積,
解得. 12分
當(dāng)時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為,,
直線的方程為,即. 13分
當(dāng)時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為,,
直線的方程為,即. 14分
方法2:由點(diǎn)到的距離等于,可知. 8分
由(2)知,所以,即.
由(2)知,.
所以.
即. ①
由(2)知. ②
不妨設(shè)點(diǎn)在上方(如圖),即,由①、②解得 10分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092000190384191803/SYS201309200020172200142078_DA.files/image067.png">,
同理. 11分
以下同方法1.
考點(diǎn):直接法求軌跡方程,拋物線的定義,函數(shù)圖象的切線方程的求解,斜率公式、弦長(zhǎng)公式
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(1)求軌跡的方程;
(2)證明:;
(3)若點(diǎn)到直線的距離等于,且△的面積為20,求直線的方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014屆河南省方城一高高三第一次調(diào)研(月考)考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
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(1)求軌跡的方程;
(2)證明:;
(3)若點(diǎn)到直線的距離等于,且的面積為20,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012-2013學(xué)年廣東省廣州市畢業(yè)班綜合測(cè)試(二)文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線相切的動(dòng)圓的圓心軌跡為.點(diǎn)、在軌跡上,且關(guān)于軸對(duì)稱,過(guò)線段(兩端點(diǎn)除外)上的任意一點(diǎn)作直線,使直線與軌跡在點(diǎn)處的切線平行,設(shè)直線與軌跡交于點(diǎn)、.
(1)求軌跡的方程;
(2)證明:;
(3)若點(diǎn)到直線的距離等于,且△的面積為20,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012-2013學(xué)年河北省高三第十次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為實(shí)數(shù),.
(Ⅰ)若在區(qū)間[-1,1]上的最小值、最大值分別為-2、1,求a、b的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,求經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線的方程;
(Ⅲ)設(shè)函數(shù),試判斷函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)。
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