【題目】已知多面體,,,均垂直于平面,,,,.
(1)證明:⊥平面;
(2)求直線與平面所成的角的正弦值.
【答案】(1)見解析;(2)直線與平面所成的角的正弦值為.
【解析】
(1)根據(jù)直線與平面垂直的判定定理,要證平面,只需證與平面兩條相交直線垂直。根據(jù)已知條件可求與的長(zhǎng)度,然后跟據(jù)勾股定理可證.。同理可得.,進(jìn)而可得平面。(2)要求直線與平面所成的角的正弦值,應(yīng)先作角。由條件可得平面平面 。所以過點(diǎn)作,交直線于點(diǎn),連結(jié). 可知是與平面所成的角.根據(jù)條件可求的三邊長(zhǎng),進(jìn)而可由余弦定理求得 ,然后可求。進(jìn)而求得,在中即可求得結(jié)果。
(1)由得,
所以.
故.
由, 得,
由得,
由,得,所以,故.
因此平面.
(2)如圖,過點(diǎn)作,交直線于點(diǎn),連結(jié).
由平面得平面平面,
由得平面,
所以是與平面所成的角.
由得,
所以,故.
因此,直線與平面所成的角的正弦值是.
方法二:
(1)如圖,以AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn),分別以射線OB,OC為x,y軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.
由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下:
因此
由得.
由得.
所以平面.
(2)設(shè)直線與平面所成的角為.
由(Ⅰ)可知
設(shè)平面的法向量.
由即可取.
所以.
因此,直線與平面所成的角的正弦值是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直三棱柱的底面是等腰直角三角形,,側(cè)棱底面,且,是的中點(diǎn).
(1)求直三棱柱的全面積;
(2)求異面直線與所成角的大。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示);
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列和的項(xiàng)數(shù)均為,則將兩個(gè)數(shù)列的偏差距離定義為,其中.
(1)求數(shù)列1,2,7,8和數(shù)列2,3,5,6的偏差距離;
(2)設(shè)為滿足遞推關(guān)系的所有數(shù)列的集合,和為中的兩個(gè)元素,且項(xiàng)數(shù)均為,若,,和的偏差距離小于2020,求最大值;
(3)記是所有7項(xiàng)數(shù)列或的集合,,且中任何兩個(gè)元素的偏差距離大于或等于3,證明:中的元素個(gè)數(shù)小于或等于16.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】實(shí)數(shù)a,b滿足ab>0且a≠b,由a、b、、按一定順序構(gòu)成的數(shù)列( 。
A. 可能是等差數(shù)列,也可能是等比數(shù)列
B. 可能是等差數(shù)列,但不可能是等比數(shù)列
C. 不可能是等差數(shù)列,但可能是等比數(shù)列
D. 不可能是等差數(shù)列,也不可能是等比數(shù)列
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}是以d為公差的等差數(shù)列,{bn}數(shù)列是以q為公比的等比數(shù)列.
(1)若數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=b1=d=2,S3<a1003+5b2﹣2010,求整數(shù)q的值;
(2)在(1)的條件下,試問數(shù)列中是否存在一項(xiàng)bk,使得bk恰好可以表示為該數(shù)列中連續(xù)p(p∈N,p≥2)項(xiàng)的和?請(qǐng)說明理由;
(3)若b1=ar,b2=as≠ar,b3=at(其中t>s>r,且(s﹣r)是(t﹣r)的約數(shù)),求證:數(shù)列{bn}中每一項(xiàng)都是數(shù)列{an}中的項(xiàng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,空間幾何體由兩部分構(gòu)成,上部是一個(gè)底面半徑為1,高為2的圓錐,下部是一個(gè)底面半徑為1,高為2的圓柱,圓錐和圓柱的軸在同一直線上,圓錐的下底面與圓柱的上底面重合,點(diǎn)是圓錐的頂點(diǎn),是圓柱下底面的一條直徑,、是圓柱的兩條母線,是弧的中點(diǎn).
(1)求異面直線與所成的角的大;
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線,對(duì)坐標(biāo)平面上任意一點(diǎn),定義,若兩點(diǎn),,滿足,稱點(diǎn),在曲線同側(cè);,稱點(diǎn),在曲線兩側(cè).
(1)直線過原點(diǎn),線段上所有點(diǎn)都在直線同側(cè),其中,,求直線的傾斜角的取值范圍;
(2)已知曲線,為坐標(biāo)原點(diǎn),求點(diǎn)集的面積;
(3)記到點(diǎn)與到軸距離和為的點(diǎn)的軌跡為曲線,曲線,若曲線上總存在兩點(diǎn),在曲線兩側(cè),求曲線的方程與實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出條件:①;②;③;④;使得函數(shù),對(duì)任意,都使成立的條件序號(hào)是()
A.①③B.②④C.③④D.②③
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值;
(2)令是函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn),且滿足求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若,使成立,求實(shí)數(shù)的最大值.
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