【題目】在直角坐標(biāo)系中,已知中心在原點(diǎn),離心率為
的橢圓
的一個焦點(diǎn)為圓
:
的圓心.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)是橢圓
上一點(diǎn),過
作兩條斜率之積為
的直線
,
,當(dāng)直線
,
都與圓
相切時,求
的坐標(biāo).
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
,或
,或
,或
.
【解析】試題分析:(1)圓心坐標(biāo)是已知的,故橢圓的焦點(diǎn)是已知的,從而半焦距已知了,又有離心率,故半長軸長
也能求出,從而求出
,而根據(jù)題意,橢圓方程是標(biāo)準(zhǔn)方程,可其方程易得;(2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為
,再設(shè)一條切線的斜率為
,則另一條切線的斜率為
,三個未知數(shù)
需要三個方程,點(diǎn)P在橢圓上,一個等式,兩條直線都圓的切線,利用圓心到切線的距離等于圓的半徑又得到兩個等式,三個等量關(guān)系,三個未知數(shù)理論上可解了,當(dāng)然具體解題時,可設(shè)切線斜率為
,則點(diǎn)斜率式寫出直線方程,利用圓心到切線距離等于圓半徑得出關(guān)于
的方程,而
是這個方程的兩解,由韋達(dá)定理得
,這個結(jié)果又是
,就列出了關(guān)于P點(diǎn)坐標(biāo)的一個方程,再由P點(diǎn)在橢圓上,可解出P點(diǎn)坐標(biāo).
試題解析:(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,圓心為
,所以
,又
,
,
,而據(jù)題意橢圓的方程是標(biāo)準(zhǔn)方程,故其方程為
.4分
(2)設(shè),得
∵,依題意
到
的距離為
整理得同理
∴是方程
的兩實(shí)根10分
12分
∴14分
16分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知A、B、C是一條直路上的三點(diǎn),AB與BC各等于1 km,從三點(diǎn)分別遙望塔M,在A處看見塔在北偏東45°方向,在B處看塔在正東方向,在點(diǎn)C處看見塔在南偏東60°方向,求塔到直路ABC的最短距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某山區(qū)小學(xué)有100名四年級學(xué)生,將全體四年級學(xué)生隨機(jī)按00~99編號,并且按編號順序平均分成10組.現(xiàn)要從中抽取10名學(xué)生,各組內(nèi)抽取的編號按依次增加10進(jìn)行系統(tǒng)抽樣.
(1)若抽出的一個號碼為22,則此號碼所在的組數(shù)是多少?據(jù)此寫出所有被抽出學(xué)生的號碼;
(2)分別統(tǒng)計(jì)這10名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績,獲得成績數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖4所示,求該樣本的方差;
(3)在(2)的條件下,從這10名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名成績不低于73分的學(xué)生,求被抽取到的兩名學(xué)生的成績之和不小于154分的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)調(diào)查了某班全部 45 名同學(xué)參加書法社團(tuán)和演講社團(tuán)的情況,數(shù)據(jù)如下表:(單位:人)
參加書法社團(tuán) | 未參加書法社團(tuán) | |
參加演講社團(tuán) | 8 | 5 |
未參加書法社團(tuán) | 2 | 30 |
(1)從該班隨機(jī)選 1 名同學(xué),求該同學(xué)至少參加上述一個社團(tuán)的概率;
(2)在既參加書法社團(tuán)又參加演講社團(tuán)的 8 名同學(xué)中,有 5 名男同學(xué),3名女同學(xué)
.現(xiàn)從這 5 名男同學(xué)和 3 名女同學(xué)中各隨機(jī)選 1 人,求
被選中且
未被選中的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓(
)的左右焦點(diǎn)分別為
、
,離心率
.過
的直線交橢圓于
、
兩點(diǎn),三角形
的周長為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)若弦,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ=2, .
(1)把圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;
(2)求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,一輛汽車從市出發(fā)沿海岸一條直公路以
的速度向東勻速行駛,汽車開動時,在
市南偏東30°方向距
市
的海上
處有一快艇與汽車同時出發(fā),要把一份稿件送給這輛汽車的司機(jī).問快艇至少以多大的速度,以什么樣的航向行駛才能最快把稿件送到司機(jī)手中?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)
的距離比它到直線
的距離小2.
(1)求曲線的方程;
(2)過點(diǎn)且斜率為
的直線
交曲線
于
,
兩點(diǎn),若
,當(dāng)
時,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一條光線經(jīng)過P(2,3)點(diǎn),射在直線l:x+y+1=0上,反射后穿過點(diǎn)Q(1,1).
(1)求入射光線的方程;
(2)求這條光線從P到Q的長度.
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