Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為A，F(xiàn)，右準(zhǔn)線為直線m，圓D：x²+y²-6y-4=0．
（1）若點(diǎn)A在圓D上，且橢圓C的離心率為

3

2

，求橢圓C的方程；
（2）若直線m上存在點(diǎn)Q，使△AFQ為等腰三角形，求橢圓C的離心率的取值范圍；
（3）若點(diǎn)P在（1）中的橢圓C上，且過(guò)點(diǎn)P可作圓D的兩條切線，切點(diǎn)分別為M、N，求弦長(zhǎng)MN的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對(duì)x²+y²-6y-4=0，令y=0，則x=±2．所以，A（-2，0），a=2，又因?yàn)椋?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">e=

c

a

=

3

2

，所以，c=

3

，由此能夠得到橢圓C的方程．
（2）由△AFQ為等腰三角形a+c=AF=QF＞

a2

c

-c，知2c²+ac-a²＞0，2e²+e-1＞0，（2e-1）（e+1）＞0，又0＜e＜1，所以

1

2

＜e＜1，由此得到橢圓離心率取值范圍．
（3）連PD交MN于H，連DM，則由圓的幾何性質(zhì)知：H為MN的中點(diǎn)，DM⊥PM，MN⊥PD．所以，MN=2MH=

2MD•MP

PD

=

2MD PD2-MD2

PD

=2MD•

1- MD2 PD2

．⊙D：x²+（y-3）²=13，MD=

13

，所以MN=2

13

•

1- 13 PD2

．由此能夠求出弦長(zhǎng)MN的取值范圍．

解答：解：（1）對(duì)x²+y²-6y-4=0，令y=0，則x=±2．
所以，A（-2，0），a=2（2分）
又因?yàn)椋?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">e=

c

a

=

3

2

，
所以，c=

3

，（3分）
b²=a²-c²=1（4分）
所以，橢圓C的方程為：

x2

4

+y2=1．（5分）
（2）由圖知△AFQ為等腰三角形a+c=AF=QF＞

a2

c

-c（7分）
所以，2c²+ac-a²＞0，2e²+e-1＞0，（2e-1）（e+1）＞0
又0＜e＜1，
所以

1

2

＜e＜1，即橢圓離心率取值范圍為(

1

2

，1)．（10分）
（3）連PD交MN于H，連DM，則由圓的幾何性質(zhì)知：H為MN的中點(diǎn)，DM⊥PM，MN⊥PD．
所以，MN=2MH=

2MD•MP

PD

=

2MD PD2-MD2

PD

=2MD•

1- MD2 PD2

⊙D：x²+（y-3）²=13，MD=

13

所以，MN=2

13

•

1- 13 PD2

（13分）
設(shè)P（x₀，y₀），則

x02

4

+y02=1且-1≤y₀＜0
所以，PD²=x₀²+（y₀-3）²=-3y₀²-6y₀²+13=-3（y₀+1）²+16（-1≤y₀＜0）
所以，13＜PD²≤16（15分）
所以，O＜MN≤

39

2

．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線和直線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．