Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若函數(shù)的圖像在公共點(diǎn)P處有相同的切線(xiàn)，求實(shí)數(shù)m的值和P的坐標(biāo)；

（2）若函數(shù)的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M、N，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，過(guò)線(xiàn)段MN的中點(diǎn)作x軸的垂線(xiàn)分別與的圖像和的圖象交于S、T點(diǎn)，以S點(diǎn)為切點(diǎn)作以T為切點(diǎn)作的切線(xiàn)，是否存在實(shí)數(shù)m，使得？如果存在，求出m的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）不存在，理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）設(shè)兩圖象公共點(diǎn)P（x0，y0），P的坐標(biāo)滿(mǎn)足f（x）和g（x）解析式得到關(guān)系式①，又在點(diǎn)P處有共同的切線(xiàn)得到關(guān)系式②，②和①聯(lián)立求解即可.（2）有兩個(gè)交點(diǎn)轉(zhuǎn)為有兩個(gè)解,利用變量分求解即可;（3）利用反證法即可得到證明.

解：（1）設(shè)函數(shù)

則有 ①

又在點(diǎn)P處有共同的切線(xiàn),

②

②代入①，得 設(shè)

所以，函數(shù)最多只有1個(gè)零點(diǎn)，觀(guān)察得 此時(shí)，點(diǎn)P（1，0）.

（2）有兩個(gè)交點(diǎn)即方程有兩個(gè)解,

即在(0,+∞)上有兩個(gè)解.

設(shè)h(x)= ,∴, ∴x=1

易知x=1為極大值點(diǎn),且h(x)>0,且以x軸為漸近線(xiàn)

∴0<m+1<1,∴

另解：根據(jù)（1）知，當(dāng)時(shí)，兩條曲線(xiàn)切于點(diǎn)P（1，0），

此時(shí)，變化的y=g(x)圖象對(duì)稱(chēng)軸為

而是固定不變的，如果繼續(xù)讓對(duì)稱(chēng)軸向右移動(dòng)，

即 解得 兩條曲線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向下，只有一個(gè)交點(diǎn)，顯然不合題意，所以，有

（3）假設(shè)存在這樣的m，不妨設(shè) 以S為切線(xiàn)的切線(xiàn)l1的斜率,以T為切點(diǎn)的切線(xiàn)l2的斜率如果存在m，使得

即 ③

而且有如果將③的兩邊同乘以得

,即

，④

即，設(shè)，則，

令，則

⑤

∴④與⑤矛盾，所以，不存在實(shí)數(shù)