Question

17．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1•a_n=2ⁿ（n∈N^*），則S₂₀₁₇=（　�。�

• A． 2¹⁰¹⁰-1
• B． 2¹⁰¹⁰-3
• C． 3•2¹⁰⁰⁸-1
• D． 2¹⁰⁰⁹-3

Answer 1

分析 由數(shù)列的遞推公式得到$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=2，即可得到從第2項(xiàng)開(kāi)始，每隔一項(xiàng)，即偶數(shù)項(xiàng)，以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，從第1項(xiàng)開(kāi)始，每隔一項(xiàng)，即為奇數(shù)項(xiàng)，以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，分別根據(jù)等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即可．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1•a_n=2ⁿ（n∈N^*），
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₂•a₁=2，∴a₂=2，
∴a_n•a_n-1=2^n-1（n≥2），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=2，
∴從第2項(xiàng)開(kāi)始，每隔一項(xiàng)，即偶數(shù)項(xiàng)，以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
從第1項(xiàng)開(kāi)始，每隔一項(xiàng)，即為奇數(shù)項(xiàng)，以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
∴S₂₀₁₇=$\frac{1×（1-{2}^{1009}）}{1-2}$+$\frac{2×（1-{2}^{1008}）}{1-2}$=2¹⁰⁰⁹-1+2¹⁰⁰⁹-2=2¹⁰¹⁰-3，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推公式和等比數(shù)列的求和公式，屬于中檔題