【題目】如圖,己知△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E、F分別是AC、AD上的動(dòng)點(diǎn),且 =λ(0<λ<1)
(1)求證:不論λ為何值,總有EF⊥平面ABC:
(2)若λ= ,求三棱錐A﹣BEF的體積.
【答案】
(1)證明:因?yàn)锳B⊥平面BCD,所以AB⊥CD,
又在△BCD中,∠BCD=90°,所以,BC⊥CD,又AB∩BC=B,
所以,CD⊥平面ABC,
又在△ACD,E、F分別是AC、AD上的動(dòng)點(diǎn),且 =λ(0<λ<1)
所以,不論λ為何值,總有EF⊥平面ABC
(2)解:在△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,所以,BD= ,
又AB⊥平面BCD,所以,AB⊥BC,AB⊥BD,
又在Rt△ABC中,∠ADB=60°∴AB=BDtan60°=
由(1)知EF⊥平面ABE,∴V三棱錐A﹣BEF=V三棱錐F﹣ABE
=
所以,三棱錐A﹣BCD的體積是:
【解析】(1)要證不論λ為何值,總有EF⊥平面ABC,只需證CD⊥平面ABC,在△BCD中,根據(jù)∠BCD=90°得證.(2)根據(jù)V三棱錐A﹣BEF=V三棱錐F﹣ABE , 得出體積即可.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案,需要掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校從參加考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生,將其成績(jī)(均為整數(shù))分成六組[40,50),[50,60) ...[90,100]后畫出如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息,回答下列問題:
(1)求成績(jī)落在[70,80)上的頻率,并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖;
(2)估計(jì)這次考試的及格率(60分及以上為及格)、平均分、眾數(shù)和中位數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知cos(α﹣β)=﹣ ,cos(α+β)= ,且(α﹣β)∈( ,π),(α+β)∈( ,2π),則cos2α=( )
A.﹣1
B.﹣
C.
D.﹣
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解春季晝夜溫差大小與某種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系,現(xiàn)在從4月份的30天中隨機(jī)挑選了5天進(jìn)行研究,且分別記錄了每天晝夜溫差與每天100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù),得到如下資料:
日期 | 4月1日 | 4月7日 | 4月15日 | 4月21日 | 4月30日 |
溫差x/℃ | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
發(fā)芽數(shù)y/顆 | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
(Ⅰ)從這5天中任選2天,記發(fā)芽的種子數(shù)分別為m,n,求事件“m,n均不小于25”的概率.
(Ⅱ)從這5天中任選2天,若選取的是4月1日與4月30日的兩組數(shù)據(jù),請(qǐng)根據(jù)這5天中的另3天的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程 = x+ .
(參考公式: = , = ﹣ )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函f(x)=ax2﹣ex(a∈R). (Ⅰ)a=1時(shí),試判斷f(x)的單調(diào)性并給予證明;
(Ⅱ)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 , x2(x1<x2).
(i) 求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(ii)證明:﹣ . (注:e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=
(1)令N(x)=(1+x)2﹣1+ln(1+x),判斷并證明N(x)在(﹣1,+∞)上的單調(diào)性,并求N(0);
(2)求f(x)在定義域上的最小值;
(3)是否存在實(shí)數(shù)m,n滿足0≤m<n,使得f(x)在區(qū)間[m,n]上的值域也為[m,n]? (參考公式:[ln(1+x)′]= )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線過點(diǎn),其參數(shù)方程為(為參數(shù), ),以為極點(diǎn), 軸非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)求已知曲線和曲線交于兩點(diǎn),且,求實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,,為線段的垂直平分線,與交與點(diǎn)為上異于的任意一點(diǎn).
求的值;
判斷的值是否為一個(gè)常數(shù),并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x+1|. (Ⅰ)解不等式f(x+8)≥10﹣f(x);
(Ⅱ)若|x|>1,|y|<1,求證:f(y)<|x|f( ).
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