Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$（1）求f（2）與f（$\frac{1}{2}$），f（3）與f（$\frac{1}{3}$）
（2）證明：f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=1-$\frac{1}{{x}^{2}+1}$，能求出求f（2）與f（$\frac{1}{2}$），f（3）與f（$\frac{1}{3}$）的值．
（2）由f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，能證明f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1．

解答 解：（1）由f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=1-$\frac{1}{{x}^{2}+1}$，
∴f（2）=1-$\frac{1}{{2}^{2}+1}$=$\frac{4}{5}$，f（$\frac{1}{2}$）=1-$\frac{1}{\frac{1}{4}+1}$=$\frac{1}{5}$．
f（3）=1-$\frac{1}{{3}^{2}+1}$=$\frac{9}{10}$，f（$\frac{1}{3}$）=1-$\frac{1}{\frac{1}{9}+1}$=$\frac{1}{10}$．
證明：（2）∵f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，
∴f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{\frac{1}{{x}^{2}}}{1+\frac{1}{{x}^{2}}}$
=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{1}{{x}^{2}+1}$=1．
故f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1．

點評 本題考查函數(shù)值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質的合理運用．