【題目】如圖,在三棱錐S﹣ABC中,SB⊥底面ABC,且SB=AB=2,BC= ,D、E分別是SA、SC的中點.
(I)求證:平面ACD⊥平面BCD;
(II)求二面角S﹣BD﹣E的平面角的大。
【答案】證明:(I)∵∠ABC= ,
∴BA⊥BC,
建立如圖所示的坐標(biāo)系,
則C(0, ,0),A(2,0,0),D(1,0,1),E(0, ,1),S(0,0,2),
則 =(﹣1,0,1), =(0, ,0),
=(1,0,1),
則 =(﹣1,0,1)(0, ,0)=0,
=(﹣1,0,1)(1,0,1)=﹣1+1=0,
則 ⊥ , ⊥ ,
即AD⊥BC,AD⊥BD,
∵BC∩BD=B,
∴AD⊥平面BCD;
∵AD平面BCD;
∴平面ACD⊥平面BCD;
(II) =(0, ,1),
則設(shè)平面BDE的法向量 =(x,y,1),
則 ,即 ,
解得x=﹣1,y= ,
即 =(﹣1, ,1),
又平面SBD的法向量 =(0, ,0),
∴cos< , >= = ,
則< , >= ,即二面角S﹣BD﹣E的平面角的大小為 .
【解析】(1)欲證明平面ACD⊥平面BCD,根據(jù)面面垂直的判定定理,證明AD⊥平面BCD。欲證明AD⊥平面BCD,根據(jù)線面垂直的判定定理,證明AD⊥BC,AD⊥BD即可證明。
(2)設(shè)平面BDE的法向量 =(x,y,1),利用向量的數(shù)量積公式即可求得。
【考點精析】認(rèn)真審題,首先需要了解平面與平面垂直的判定(一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在銳角△ABC中,a,b,c為角A,B,C所對的邊,且(b﹣2c)cosA=a﹣2acos2 .
(1)求角A的值;
(2)若a= ,則求b+c的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=ln(x2﹣x)的定義域為( )
A.(0,1)
B.[0,1]
C.(﹣∞,0)∪(1,+∞)
D.(﹣∞,0]∪[1,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)A是單位圓O和x軸正半軸的交點,P,Q是圓O上兩點,O為坐標(biāo)原點,∠AOP= ,∠AOQ=α,α∈[0, ].
(1)若Q( , ),求cos(α﹣ )的值;
(2)設(shè)函數(shù)f(α)=sinα( ),求f(α)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知單位圓x2+y2=1與x軸正半軸交于點P,當(dāng)圓上一動點Q從P出發(fā)沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周回到P點后停止運(yùn)動設(shè)OQ掃過的扇形對應(yīng)的圓心角為xrad,當(dāng)0<x<2π時,設(shè)圓心O到直線PQ的距離為y,y與x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x)是如圖所示的程序框圖中的①②兩個關(guān)系式
(Ⅰ)寫出程序框圖中①②處的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅱ)若輸出的y值為2,求點Q的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知⊙O的半徑是1,點C在直徑AB的延長線上,BC=1,點P是⊙O上半圓上的一個動點,以PC為邊作等邊三角形PCD,且點D與圓心分別在PC的兩側(cè).
(1)若∠POB=θ,試將四邊形OPDC的面積y表示為關(guān)于θ的函數(shù);
(2)求四邊形OPDC面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)集合M={x|x<2},集合N={x|0<x<1},則下列關(guān)系中正確的是( )
A.M∪N=R
B.M∪RN=R
C.N∪RM=R
D.M∩N=M
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,邊a、b、c分別是角A、B、C的對邊,且滿足bcosC=(3a-c)cosB
(1)求cosB
(2)若△ABC的面積為4,b=4,求△ABC的周長
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x+2a|+|x﹣1|,a∈R.
(1)當(dāng)a=1時,解不等式f(x)≤5;
(2)若f(x)≥2對于x∈R恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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