【題目】已知橢圓：的離心率為，焦距為.

（1）求的方程；

（2）若斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)，均在第一象限），為坐標(biāo)原點(diǎn).

①證明：直線的斜率依次成等比數(shù)列.

②若與關(guān)于軸對(duì)稱，證明：.

【答案】（1）； （2）①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)離心率、焦距和可解出，從而得到橢圓方程；（2）①設(shè)直線的方程為：，，，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的形式，從而求得；整理可知：，從而證得結(jié)論；②與關(guān)于軸對(duì)稱可知，由①知，則，利用兩角和差正切公式展開(kāi)整理，根據(jù)基本不等式求得最小值，經(jīng)驗(yàn)證等號(hào)無(wú)法取得，從而證得結(jié)論.

（1）由題意可得：，解得：

橢圓的方程為：

（2）證明：①設(shè)直線的方程為：，，

由消去得：

則，且，

即直線的斜率依次成等比數(shù)列

②由題可知：

由①可知：，，

若，則兩點(diǎn)重合，不符合題意；可知無(wú)法取得等號(hào)

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】有一個(gè)不透明的袋子，裝有4個(gè)大小形狀完全相同的小球，球上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4.現(xiàn)按如下兩種方式隨機(jī)取球兩次，每種方式中第1次取到球的編號(hào)記為，第2次取到球的編號(hào)記為.

（1）若逐個(gè)不放回地取球，求是奇數(shù)的概率；

（2）若第1次取完球后將球再放回袋中，然后進(jìn)行第2次取球，求直線與雙曲線有公共點(diǎn)的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)數(shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則（ ）

A.1033B.1034C.2057D.2058

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)110名性別不同的大學(xué)生是否愛(ài)好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如表的列聯(lián)表：

男

女

總計(jì)

愛(ài)好

40

20

60

不愛(ài)好

20

30

50

總計(jì)

60

50

110

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

算得，．見(jiàn)附表：參照附表，得到的正確結(jié)論是（　�。�

A. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”

B. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”

C. 有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”

D. 有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在直四棱柱中，底面是矩形，與交于點(diǎn)，.

（1）證明：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了解某中學(xué)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情況，從該校抽了名學(xué)生，分析了這名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)（單位：分），得到了如下的頻率分布直方圖：

（1）求頻率分布直方圖中的值；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)（精確到）；

（3）在這名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)中，從成績(jī)?cè)?/span>的學(xué)生中任選人，求次人的成績(jī)都在中的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知是雙曲線的右焦點(diǎn)，是左支上一點(diǎn)，），當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（　　）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)是定義在上的周期函數(shù)，周期，對(duì)都有，且當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程恰有3個(gè)不同的實(shí)根，則的取值范圍是

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某企業(yè)購(gòu)買某種儀器，在儀器使用期間可能出現(xiàn)故障，需要請(qǐng)銷售儀器的企業(yè)派工程師進(jìn)行維修，因?yàn)榭紤]到人力、成本等多方面的原因，銷售儀器的企業(yè)提供以下購(gòu)買儀器維修服務(wù)的條件：在購(gòu)買儀器時(shí)，可以直接購(gòu)買儀器維修服務(wù)，維修一次1000元；在儀器使用期間，如果維修服務(wù)次數(shù)不夠再次購(gòu)買，則需要每次1500元..現(xiàn)需決策在購(gòu)買儀器的同時(shí)購(gòu)買幾次儀器維修服務(wù)，為此搜集并整理了500臺(tái)這種機(jī)器在使用期內(nèi)需要維修的次數(shù)，得到如下表格：

維修次數(shù)

5

6

7

8

9

頻數(shù)（臺(tái)）

50

100

150

100

100

記表示一臺(tái)儀器使用期內(nèi)維修的次數(shù)，表示一臺(tái)儀器使用期內(nèi)維修所需要的費(fèi)用，表示購(gòu)買儀器的同時(shí)購(gòu)買的維修服務(wù)的次數(shù).

（1）若，求與的函數(shù)關(guān)系式；

（2）以這500臺(tái)儀器使用期內(nèi)維修次數(shù)的頻率代替一臺(tái)儀器維修次數(shù)發(fā)生的概率，求的概率.

（3）假設(shè)購(gòu)買這500臺(tái)儀器的同時(shí)每臺(tái)都購(gòu)買7次維修服務(wù)，或每臺(tái)都購(gòu)買8次維修服務(wù)，請(qǐng)分別計(jì)算這500臺(tái)儀器在購(gòu)買維修服務(wù)所需要費(fèi)用的平均數(shù)，以此為決策依據(jù)，判斷購(gòu)買7次還是8次維修服務(wù)？

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