Question

若關(guān)于x的方程lg（kx）=2lg（x+1）只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　　）

A．{k|k=4，或k＜0}

B．{k|k＜0}

C．{k|k=4}

D．{k|k＜4，或k＞4}

Answer 1

分析：由于k出現(xiàn)在真數(shù)位置，故我們可以對(duì)k分大于0，等于0，小于0三種情況進(jìn)行討論，然后利用對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化為整式方程根的個(gè)數(shù)問題，結(jié)合韋達(dá)定理及圖解法，即可得到結(jié)論．

解答：解：若k=0，則lg（kx）無意義，此時(shí)方程lg（kx）=2lg（x+1）無實(shí)根；
①若k＞0，則方程lg（kx）=2lg（x+1）只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即
kx=（x+1）²只有一個(gè)正根，
則

2-k＜0 (2-k)2-4=0

，
解得：k=4
②若k＜0，由于方程lg（kx）=2lg（x+1）只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，
分別作出函數(shù)y=lg（kx）和y=2lg（x+1）的圖象，它們始終有一個(gè)交點(diǎn)，
∴方程lg（kx）=2lg（x+1）只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，
∴k＜0符合題意．
綜上滿足條件的實(shí)數(shù)k的范圍k＜0或k=4．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，其中利用對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化為整式方程根的個(gè)數(shù)問題，是解答本題的關(guān)鍵．