【題目】(本小題滿分14分)
已知函數(shù)(為常數(shù))的圖像與軸交于點(diǎn),曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.
(1)求的值及函數(shù)的極值;
(2)證明:當(dāng)時(shí),
(3)證明:對(duì)任意給定的正數(shù),總存在,使得當(dāng)時(shí),恒有
【答案】(1)當(dāng)時(shí),有極小值,無極大值.
(2)見解析.(3)見解析.
【解析】
試題分析:(1)由,得.
從而.
令,得駐點(diǎn).討論可知:
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí),有極小值,無極大值.
(2)令,則.
根據(jù),知在R上單調(diào)遞增,又,
當(dāng)時(shí),由,即得.
(3)思路一:對(duì)任意給定的正數(shù)c,取,
根據(jù).得到當(dāng)時(shí),.
思路二:令,轉(zhuǎn)化得到只需成立.
分,,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性.
思路三:就①,②,加以討論.
試題解析:解法一:
(1)由,得.
又,得.
所以,.
令,得.
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.
所以當(dāng)時(shí),有極小值,
且極小值為,
無極大值.
(2)令,則.
由(1)得,,即.
所以在R上單調(diào)遞增,又,
所以當(dāng)時(shí),,即.
(3)對(duì)任意給定的正數(shù)c,取,
由(2)知,當(dāng)時(shí),.
所以當(dāng)時(shí),,即.
因此,對(duì)任意給定的正數(shù)c,總存在,當(dāng)時(shí),恒有.
解法二:(1)同解法一.
(2)同解法一.
(3)令,要使不等式成立,只要成立.
而要使成立,則只需,即成立.
①若,則,易知當(dāng)時(shí),成立.
即對(duì)任意,取,當(dāng)時(shí),恒有.
②若,令,則,
所以當(dāng)時(shí),,在內(nèi)單調(diào)遞增.
取,
,
易知,,所以.
因此對(duì)任意,取,當(dāng)時(shí),恒有.
綜上,對(duì)任意給定的正數(shù)c,總存在,當(dāng)時(shí),恒有.
解法三:(1)同解法一.
(2)同解法一.
(3)①若,取,
由(2)的證明過程知,,
所以當(dāng)時(shí),有,即.
②若,
令,則,
令得.
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.
取,
,
易知,又在內(nèi)單調(diào)遞增,
所以當(dāng)時(shí),恒有,即.
綜上,對(duì)任意給定的正數(shù)c,總存在,當(dāng)時(shí),恒有.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知x0,x0+是函數(shù)f(x)=cos2(wx﹣)﹣sin2wx(ω>0)的兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)
(1)求的值;
(2)若對(duì)任意,都有f(x)﹣m≤0,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
(3)若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不同的解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】如圖,四邊形是矩形,四邊形是梯形, ,平面平面, , 點(diǎn)是的中點(diǎn).
(1)求證:∥平面;
(2)求二面角的余弦值.
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【題目】平頂山市公安局交警支隊(duì)依據(jù)《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》第條規(guī)定:所有主干道路凡機(jī)動(dòng)車途經(jīng)十字口或斑馬線,無論轉(zhuǎn)彎或者直行,遇有行人過馬路,必須禮讓行人,違反者將被處以元罰款,記分的行政處罰.如表是本市一主干路段監(jiān)控設(shè)備所抓拍的個(gè)月內(nèi),機(jī)動(dòng)車駕駛員不“禮讓斑馬線”行為統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):
月份 | |||||
違章駕駛員人數(shù) |
(Ⅰ)請(qǐng)利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)與月份之間的回歸直線方程;
(Ⅱ)預(yù)測(cè)該路段月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數(shù).
參考公式:,.
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【題目】四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為的菱形,側(cè)面底面,, , 是中點(diǎn),點(diǎn)在側(cè)棱上.
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)若是中點(diǎn),求二面角的余弦值;
(Ⅲ)是否存在,使平面?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
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【題目】從某校高中男生中隨機(jī)選取100名學(xué)生,將他們的體重(單位: )數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖,如圖所示.
(1)估計(jì)該校的100名同學(xué)的平均體重(同一組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(2)若要從體重在, 內(nèi)的兩組男生中,用分層抽樣的方法選取5人,再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取3人,記體重在內(nèi)的人數(shù)為,求其分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】下列說法正確的是( )
A.點(diǎn)(2,0)關(guān)于直線y=x+1的對(duì)稱點(diǎn)為(﹣1,3)
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C.經(jīng)過點(diǎn)(1,1)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+y﹣2=0或x﹣y=0
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求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
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(1)求證:平面⊥平面;
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