Question

【題目】已知函數，其中，為函數的導函數．

（1）討論的單調性；

（2）若對任意，恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）求，令，求出，得出，對分類討論求出，

的解，即可得出結論；

（2）分離參數轉化為求，設

，通過求導及構造函數，得且滿足，進而得到時，取得最小值，即可求出結論.

（1）

令，則，所以故

（�。┊�時，

當時，，所以在上單調遞減

當時，，所以在上單調遞增

（ⅱ）當時，令，則或

（a）若即時，

當或時，，

所以在和上單調遞增

當時，，

所以在上單調遞減

（b）若即時，，

所以在上單調遞增

（c）若即時，

當或時，，

所以在和上單調遞增

當時，，

所以在上單調遞減

綜上所述：當時，在上單調遞減，在上單調遞增

當時，在和上單調遞增，

在上單調遞減

當時，在上單調遞增

當時，在和上單調遞增，

在上單調遞減

（2）解法一：參數分離法

由知在恒成立即

令，則

令，則，

所以在上單調遞增

又，

所以在上存在唯一零點，且

所以當時，即；當時，

即

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

又因為

思路一：即

因為，所以（*）

設，當時，，

所以在上單調遞增

由（*）知，所以

所以，

則有即

所以實數的取值范圍為

思路二：即，兩邊取對數，

得

即（*）

設，則在上單調遞增

由（*）知，所以

所以，

則有即

所以實數的取值范圍為．

下面提供一種利用最小值的定義求的最小值的方法：

先證：，

設，則，

所以當時，；當時，，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

所以即，

（當且僅當時等號成立），

再證：

由得（用代換），

，

，

（當且僅當時等號成立）

最后證：方程有實根，

設，則在上單調遞增，

又，，

所以在有唯一零點，

即方程有實根，

綜上，則有即，

所以實數的取值范圍為．

解法二：函數性質法

由知在恒成立，

設，則，

因為，

，所以在上單調遞增，

又當時，；當時，；

所以在上存在唯一零點，即，（1）

所以當時，；當時，，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

，

，

即，

思路一：即，

因為，所以，（*）

設，當時，，

所以在上單調遞增，

由（*）知，

所以即，