Question

設(shè)拋物線y2=2px(p＞0)被直線y=2x-4截得的弦AB長為3

5

．
（1）求此拋物線的方程；
（2）設(shè)直線AB上有一點(diǎn)Q，使得A，Q，B三點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離成等差數(shù)列，求Q點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）在拋物線上求一點(diǎn)M，使M到Q點(diǎn)距離與M到焦點(diǎn)的距離之和最小．

Answer 1

分析：（1）聯(lián)立方程組，得

y2=2px y=2x-4

，整理得：2x²-（8+p）x+8=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x1+x2=

8+p

2

，x1x2=4，
由弦長AB=

(1+4)[( 8+p 2 )2-4×4]

=3

5

，能導(dǎo)出此拋物線的方程．
（2）設(shè)Q（x，y），由A，Q，B三點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離成等差數(shù)列，知x=

x1+y1

2

=

8+2 2

2

=

5

2

，由此能求出Q點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）由M到Q點(diǎn)距離與M到焦點(diǎn)的距離之和最小值是Q到準(zhǔn)線的距離，知M點(diǎn)的縱坐標(biāo)是y=1，由此能求出點(diǎn)M．

解答：解：（1）聯(lián)立方程組，得

y2=2px y=2x-4

，整理得：2x²-（8+p）x+8=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=

8+p

2

，x1x2=4，
∴弦長AB=

(1+4)[( 8+p 2 )2-4×4]

=3

5

，
解得p=2或-18（舍），
所以此拋物線的方程：y²=4x．
（2）設(shè)Q（x，y），
∵A，Q，B三點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離成等差數(shù)列，
∴x=

x1+y1

2

=

8+2 2

2

=

5

2

，
∴y=2×

5

2

-4=1，
∴Q(

5

2

，1)．
（3）∵M(jìn)到Q點(diǎn)距離與M到焦點(diǎn)的距離之和最小值是Q到準(zhǔn)線的距離，
∴M點(diǎn)的縱坐標(biāo)是y=1，
把y=1代入y²=4x，得x=

1

4

，
∴M(

1

4

，1)．

點(diǎn)評：本題考查拋物線方程和點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列和拋物線性質(zhì)的靈活運(yùn)用．