已知函數(shù),.
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若對任意正實數(shù)x,不等式恒成立,求實數(shù)k的值;
(Ⅲ)求證:.(其中)
(Ⅰ)單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為
(Ⅱ)(Ⅲ)利用放縮不等式可以證明,或用數(shù)學(xué)歸納法證明
解析試題分析:(Ⅰ)易知函數(shù)的定義域為,
;
(Ⅱ)解法一:
綜上:;
解法二:
由題意,
,
(Ⅲ)證法一:
,并累加得:
證法二:數(shù)學(xué)歸納法(略)
考點:本小題主要考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等性質(zhì),以及放縮法或數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,考查學(xué)生的運算求解能力和推理論證能力.
點評:用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等性質(zhì)時,不要忘記先求函數(shù)的定義域,用放縮法證明不等式時,要注意放縮的力度要恰當(dāng),如果用數(shù)學(xué)歸納法證明,需要嚴(yán)格按步驟進行.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
.(本小題滿分12分)
已知函數(shù),是常數(shù))在x=e處的切線方程為,既是函數(shù)的零點,又是它的極值點.
(1)求常數(shù)a,b,c的值;
(2)若函數(shù)在區(qū)間(1,3)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)m的取值范圍;
(3)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間,并證明:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知對于任意實數(shù)滿足,當(dāng)時,.
(1)求并判斷的奇偶性;
(2)判斷的單調(diào)性,并用定義加以證明;
(3)已知,集合,
集合,若,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知其中.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個零點,求的取值范圍;
(3)當(dāng)時,設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為最小值為,記,求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,ABCD是一塊邊長為100m的正方形地皮,其中AST是一半徑為90m的扇形小山,其他部分都是平地.一開發(fā)商想在平地上建一個矩形停車場,使矩形的一個頂點P在弧ST上,相鄰兩邊CQ,CR落在正方形的邊BC,CD上,求矩形停車場PQCR的面積S的最大值和最小值(結(jié)果取整數(shù)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分8分)
某商店經(jīng)營的消費品進價每件14元,月銷售量(百件)與銷售價格(元)的關(guān)系如下圖,每月各種開支2000元.
(1)寫出月銷售量(百件)與銷售價格(元)的函數(shù)關(guān)系;
(2)寫出月利潤(元)與銷售價格(元)的函數(shù)關(guān)系;
(3)當(dāng)商品價格每件為多少元時,月利潤最大?并求出最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)的圖像與軸有兩個交點
(1)設(shè)兩個交點的橫坐標(biāo)分別為試判斷函數(shù)有沒有最大值或最小值,并說明理由.
(2)若與在區(qū)間上都是減函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本題滿分14分) 已知是方程的兩個不等實根,函數(shù)的定義域為.
⑴當(dāng)時,求函數(shù)的值域;
⑵證明:函數(shù)在其定義域上是增函數(shù);
⑶在(1)的條件下,設(shè)函數(shù),
若對任意的,總存在,使得成立,
求實數(shù)的取值范圍.
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