Question

（2013•煙臺(tái)二模）在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=3，其前n項(xiàng)和為S_n，等比數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，b₁=1，公比為q，且b₂+S₂=12．q=

S2

b2

（Ⅰ）求a_n與b_n；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足c_n=

1

Sn

，求的{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)條件列出關(guān)于公差和公比的方程組，解方程即可求出公差和公比，進(jìn)而求出通項(xiàng)；
（Ⅱ）對(duì)通項(xiàng)化簡，利用裂項(xiàng)法求和，即可得到數(shù)列的前n項(xiàng)和．

解答：解：（Ⅰ）設(shè){a_n}的公差為d，
因?yàn)?span id="zbjhnrb" class="MathJye">

b2+S2=12 q= S2 b2

所以b₂+b₂q=12，即q+q²=12---（2分）
∴q=3或q=-4（舍），
b₂=3，s₂=9，a₂=6，d=3．---（4分）
故a_n=3+3（n-1）=3n，
bn=3n-1．----------（6分）
（Ⅱ）因?yàn)?span id="fdlpjjz" class="MathJye">Sn=

n(3+3n)

2

=

3n(n+1)

2

，------（8分）
所以：c_n=

1

Sn

=

2

n(3+3n)

=

2

3

(

1

n

-

1

n+1

)．---（10分）
故T_n=

2

3

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=

2

3

(1-

1

n+1

)=

2n

3(n+1)

．-（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，屬于中檔題．