設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為。如果存在實(shí)數(shù)和函數(shù),其中對任意的都有>0,使得,則稱函數(shù)具有性質(zhì)。

(1)設(shè)函數(shù),其中為實(shí)數(shù)。

(i)求證:函數(shù)具有性質(zhì); (ii)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

(2)已知函數(shù)具有性質(zhì)。給定設(shè)為實(shí)數(shù),

,,且,

若||<||,求的取值范圍。

 

數(shù)學(xué)Ⅱ(附加題)

 

【答案】

 [解析] 本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識,考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的綜合能力。滿分16分。

(1)(i)

時(shí),恒成立,

∴函數(shù)具有性質(zhì)

(ii)(方法一)設(shè),的符號相同。

當(dāng)時(shí),,,故此時(shí)在區(qū)間上遞增;

當(dāng)時(shí),對于,有,所以此時(shí)在區(qū)間上遞增;

當(dāng)時(shí),圖像開口向上,對稱軸,而

對于,總有,,故此時(shí)在區(qū)間上遞增;

(方法二)當(dāng)時(shí),對于,

   所以,故此時(shí)在區(qū)間上遞增;

當(dāng)時(shí),圖像開口向上,對稱軸,方程的兩根為:,而

 當(dāng)時(shí),,,故此時(shí)在區(qū)間     上遞減;同理得:在區(qū)間上遞增。

綜上所述,當(dāng)時(shí),在區(qū)間上遞增;

          當(dāng)時(shí),上遞減;上遞增。

(2)(方法一)由題意,得:

對任意的都有>0,

所以對任意的都有,上遞增。

當(dāng)時(shí),,且,

         

綜合以上討論,得:所求的取值范圍是(0,1)。

(方法二)由題設(shè)知,的導(dǎo)函數(shù),其中函數(shù)對于任意的都成立。所以,當(dāng)時(shí),,從而在區(qū)間上單調(diào)遞增。

①當(dāng)時(shí),有,

,得,同理可得,所以由的單調(diào)性知、,

從而有||<||,符合題設(shè)。

②當(dāng)時(shí),,

,于是由的單調(diào)性知,所以||≥||,與題設(shè)不符。

③當(dāng)時(shí),同理可得,進(jìn)而得||≥||,與題設(shè)不符。

因此綜合①、②、③得所求的的取值范圍是(0,1)。

 

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(03年北京卷理)(14分)

設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù),且滿足條件,

②對任意的、,都有

(Ⅰ)證明:對任意,都有

(Ⅱ)證明:對任意的都有

(Ⅲ)在區(qū)間上是否存在滿足題設(shè)條件的奇函數(shù)且使得

若存在請舉一例,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(03年北京卷文)(14分)

設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù),且滿足條件:

   (i)

   (ii)對任意的

   (Ⅰ)證明:對任意的

   (Ⅱ)判斷函數(shù)是否滿足題設(shè)條件;

   (Ⅲ)在區(qū)間[-1,1]上是否存在滿足題設(shè)條件的函數(shù),且使得對任意的

           

若存在,請舉一例:若不存在,請說明理由.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(本小題滿分16分)

設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為。如果存在實(shí)數(shù)和函數(shù),其中對任意的都有>0,使得,則稱函數(shù)具有性質(zhì)。

(1)設(shè)函數(shù),其中為實(shí)數(shù)。

(i)求證:函數(shù)具有性質(zhì); (ii)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

(2)已知函數(shù)具有性質(zhì)。給定設(shè)為實(shí)數(shù),

,,且,

若||<||,求的取值范圍。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為。如果存在實(shí)數(shù)和函數(shù),其中對任意的都有>0,使得,則稱函數(shù)具有性質(zhì)

(1)設(shè)函數(shù),其中為實(shí)數(shù)。

(i)求證:函數(shù)具有性質(zhì); (ii)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

(2)已知函數(shù)具有性質(zhì)。給定設(shè)為實(shí)數(shù),

,,且,

若||<||,求的取值范圍。

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