【題目】已知函數(shù)

當(dāng)時,求曲線處的切線方程;

(Ⅱ)求函數(shù)上的最小值;

(Ⅲ)若函數(shù),當(dāng)時, 的最大值為,求證: .

【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)見解析;(Ⅲ)見解析.

【解析】試題分析:(Ⅰ)由題,

所以, ,代入點(diǎn)斜式可得曲線處的切線方程;

(Ⅱ)由題

1)當(dāng)時, 上單調(diào)遞增. 則函數(shù)上的最小值是

2)當(dāng)時,令,即,令,即

i)當(dāng),時, 上單調(diào)遞增,

所以上的最小值是

ii)當(dāng),時,由的單調(diào)性可得上的最小值是

iii)當(dāng),時, 上單調(diào)遞減, 上的最小值是

(Ⅲ)當(dāng)時,

,則是單調(diào)遞減函數(shù).

因?yàn)?/span> ,

所以在上存在,使得,即

討論可得上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

所以當(dāng)時, 取得最大值是

因?yàn)?/span>,所以由此可證

試題解析:(Ⅰ)因?yàn)楹瘮?shù),且,

所以,

所以

所以,

所以曲線在處的切線方程是,即

(Ⅱ)因?yàn)楹瘮?shù),所以

1)當(dāng)時, ,所以上單調(diào)遞增.

所以函數(shù)上的最小值是

2)當(dāng)時,令,即,所以

,即,所以

i)當(dāng),時, 上單調(diào)遞增,

所以上的最小值是

ii)當(dāng)時, 上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

所以上的最小值是

iii)當(dāng)時, 上單調(diào)遞減,

所以上的最小值是

綜上所述,當(dāng)時, 上的最小值是

當(dāng)時, 上的最小值是

當(dāng)時, 上的最小值是

(Ⅲ)因?yàn)楹瘮?shù),所以

所以當(dāng)時,

,所以是單調(diào)遞減函數(shù).

因?yàn)?/span>,

所以在上存在,使得,即

所以當(dāng)時, ;當(dāng)時,

即當(dāng)時, ;當(dāng)時,

所以上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

所以當(dāng)時, 取得最大值是

因?yàn)?/span>,所以

因?yàn)?/span>,所以

所以

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