Question

設(shè)函數(shù)
（1）若x=1是的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍。
（2）當(dāng)a=0，b=-1時(shí)，函數(shù)有唯一零點(diǎn)，求正數(shù)的值。

Answer 1

（Ⅰ）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823211335166535.png" style="vertical-align:middle;" />，
，由=0，得.
∴.
①若a≥0，由=0，得x=1.
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減.所以x=1是的極大值點(diǎn).
②若a＜0，由=0，得x=1，或x=.
因?yàn)?i>x=1是的極大值點(diǎn)，所以＞1，解得－1＜a＜0.
綜合①②：a的取值范圍是a＞－1.
（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)有唯一零點(diǎn)，即有唯一實(shí)數(shù)解，
設(shè)，則．令，．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823211335961429.png" style="vertical-align:middle;" />，所以△=>0，方程有兩異號(hào)根設(shè)為x₁<0，x₂>0.因?yàn)?i>x>0，所以x₁應(yīng)舍去.
當(dāng)時(shí)，，在（0，）上單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí)，，在（，+∞）單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，=0，取最小值．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823211336227517.png" style="vertical-align:middle;" />有唯一解，所以，
則  即
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823211335961429.png" style="vertical-align:middle;" />，所以（*）
設(shè)函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，
是增函數(shù)，所以至多有一解．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823211336414528.png" style="vertical-align:middle;" />，所以方程（*）的解為，
代入方程組解得

略