Question

【題目】已知函數，若在定義域內存在，使得成立，則稱為函數的局部對稱點.

（1）若且，證明：函數必有局部對稱點；

（2）若函數在定義域內有局部對稱點，求實數的取值范圍；

（3）若函數在上有局部對稱點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據新定義的“局部對稱點”的概念，計算，可得結果.

（2）根據“局部對稱點”的概念，利用分離參數的方法，可得，然后構造新函數，研究新函數的值域與的關系，可得結果.

（3）根據“局部對稱點”的概念，以及換元法，可得在有解然后構造函數，利用函數性質，可得結果.

（1）由

得，

代入得，

，

得到關于的方程，，

則函數必有局部對稱點.

（2）方程在區(qū)間上有解

則，設，

，，其中，

所以.

（3），

由于，所以

，

則

所以可知方程在上有解，

令，則，

解法1：當時，

由，可得

.

，則，

從而在有解

即可保證為“局部奇函數”.

令，

當，

在有解，

由，即，

解得；

當時，

在有解

等價于，

解得.

綜上，所求實數的取值范圍為.

解法2：方程變?yōu)?/span>

在區(qū)間內有解，其中一個根為

需滿足條件：

，

即，

化簡得.