設(shè)函數(shù)
f(x)=
1-x
&(x∈(-∞,1]
).
(1)求函數(shù)y=f(2x)的定義域;
(2)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明
f(x)=
1-x
&(x∈(-∞,1]
)在其定義域上為減函數(shù).
分析:(1)由2x≤1,得x≤
1
2
,由此能求出y=f(2x)的定義域.
(2)任取x1,x2∈(-∞,1],且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=
1-x1
-
1-x2
=
(
1-x1
)
2
-(
1-x2
)
2
1-x1
+
1-x2

=
x2-x1
1-x1
+
1-x2
,由此進(jìn)行討論,能夠證明f(x)在定義域(-∞,1]上為減函數(shù).
解答:解:(1)由2x≤1,得x≤
1
2
,
所以,y=f(2x)的定義域?yàn)?span id="rz75fbj" class="MathJye">(-∞,
1
2
].
(2)證明:任取x1,x2∈(-∞,1],且x1<x2,
f(x1)-f(x2)=
1-x1
-
1-x2
=
(
1-x1
)
2
-(
1-x2
)
2
1-x1
+
1-x2

=
x2-x1
1-x1
+
1-x2
,
x1x2≤1
,
1-x1
0,
 
1-x2
≥0
 x2-x1>0

∴ 
f(x1)-f(x2)>0
,即f(x1)>f(x2),
所以,f(x)在定義域(-∞,1]上為減函數(shù).
點(diǎn)評(píng):本題考查定義域的求法和單調(diào)性的證明,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意熟練掌握常規(guī)解題方法.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
-1,x>0
1,x<0
,則
(a+b)-(a-b)f(a-b)
2
(a≠b)的值是( 。
A、aB、b
C、a,b中較小的數(shù)D、a,b中較大的數(shù)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
1-x
1+x
的反函數(shù)為h(x),又函數(shù)g(x)與h(x+1)的圖象關(guān)于有線y=x對(duì)稱(chēng),則g(2)的值為(  )
A、-
4
3
B、-
1
3
C、-1
D、-2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
 
1-x2
,(|x|≤1)
|x|,(|x|>1)
,若方程f(x)=a有且只有一個(gè)實(shí)根,則實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足( 。
A、a<0B、0≤a<1
C、a=1D、a>1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
1+x2
1-x2

①求它的定義域;
②求證:f(
1
x
)=-f(x)

③判斷它在(1,+∞)單調(diào)性,并證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•淮北一模)設(shè)函數(shù)f(x)=
1+x1-x
e-ax

(1)寫(xiě)出定義域及f′(x)的解析式,
(2)設(shè)a>O,討論函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性.

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