Question

已知函數(shù)g(x)=

1-x2

1+x2

(x≠0，x≠±1，x∈R)的值域?yàn)锳，定義在A上的函數(shù)f（x）=x^-2-x²（x∈A）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性并用定義證明；
（3）解不等式f（3x+1）＞f（5x+1）．

Answer 1

（1）由y=

1-x2

1+x2

得x2=

1-y

1+y

＞0，故-1＜y＜1，因此A=（-1，0）∪（0，1）．又
因?yàn)閒（-x）=f（x），所以f（x）是偶函數(shù)；
（2）設(shè)x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=

1

x 21

-

x

21

-

1

x 22

+

x

22

=(x2-x1)(x2+x1)(1+

1

x 21 x 22

)，
①如果x₁，x₂∈（-1，0），那么x₁+x₂＜0，故f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）；
②若x₁，x₂∈（0，1），則x₁+x₂＞0，故f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）．
因此f（x）在（-1，0）單增，在（0，1）單減；
（3）因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)，所以f（x）=f（|x|），從而原不等式化為f（|3x+1|）＞f（|5x+1|）．
故

|3x+1＜|5x+1 0＜|3x+1＜1 0＜|5x+1＜1

，即

(8x+2)•2x＞0 - 2 3 ＜x＜0且x≠- 1 3 - 2 5 ＜x＜ 0且x≠- 1 5

，
解得-

2

5

＜x＜-

1

3

或-

1

3

x＜-

1

4

，從而原不等式的解集為{x|-

2

5

＜x＜-

1

3

或-

1

3

x＜-

1

4

}．