Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣2x﹣t（t為常數(shù)）有兩個零點，g（x）= ．
（1）求g（x）的值域（用t表示）；
（2）當(dāng)t變化時，平行于x軸的一條直線與y=|f（x）|的圖象恰有三個交點，該直線與y=g（x）的圖象的交點橫坐標(biāo)的取值集合為M，求M．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù)f（x）=x2﹣2x﹣t（t為常數(shù)）有兩個零點，

∴△=4（1+t）＞0，解得：t＞﹣1，

g（x）= =（x﹣1）+ +2，

∵|（x﹣1）+ |=|x﹣1|+ ≥2 ，當(dāng)且僅當(dāng)x=1± 時取“=”，

∴（x﹣1）+ ≤﹣2 或（x﹣1）+ ≥2 ，

∴g（x）≤2﹣2 或g（x）≥2+2 ，

即g（x）的值域是（﹣∞，2﹣2 ]∪[2﹣2 ，+∞）；

（2）解：當(dāng)x=1時，f（x）取最小值﹣t﹣1，

由|f（x）|的圖象得，平行x軸的直線y=x+1與函數(shù)y=|f（x）|的圖象恰有三個交點，

由 =t+1得，（x﹣2）t=x2﹣x+1，顯然x≠2，

∴t= ，

由于t＞﹣1，

∴ ＞﹣1，即 ＞0，

解得：﹣1＜x＜1或x＞2，

∴M=（﹣1，1）∪（2，+∞）

【解析】（1）求出t的范圍，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出g（x）的值域即可；（2）求出t= ，得到 ＞﹣1，解不等式即可．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的值域和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最�。ù螅⿺�(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最�。ù螅┲担虼饲蠛瘮�(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的；當(dāng)時，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減．