【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣2x﹣t(t為常數(shù))有兩個零點(diǎn),g(x)= .
(1)求g(x)的值域(用t表示);
(2)當(dāng)t變化時,平行于x軸的一條直線與y=|f(x)|的圖象恰有三個交點(diǎn),該直線與y=g(x)的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值集合為M,求M.
【答案】
(1)解:∵函數(shù)f(x)=x2﹣2x﹣t(t為常數(shù))有兩個零點(diǎn),
∴△=4(1+t)>0,解得:t>﹣1,
g(x)= =(x﹣1)+
+2,
∵|(x﹣1)+ |=|x﹣1|+
≥2
,當(dāng)且僅當(dāng)x=1±
時取“=”,
∴(x﹣1)+ ≤﹣2
或(x﹣1)+
≥2
,
∴g(x)≤2﹣2 或g(x)≥2+2
,
即g(x)的值域是(﹣∞,2﹣2 ]∪[2﹣2
,+∞);
(2)解:當(dāng)x=1時,f(x)取最小值﹣t﹣1,
由|f(x)|的圖象得,平行x軸的直線y=x+1與函數(shù)y=|f(x)|的圖象恰有三個交點(diǎn),
由 =t+1得,(x﹣2)t=x2﹣x+1,顯然x≠2,
∴t= ,
由于t>﹣1,
∴ >﹣1,即
>0,
解得:﹣1<x<1或x>2,
∴M=(﹣1,1)∪(2,+∞)
【解析】(1)求出t的范圍,根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出g(x)的值域即可;(2)求出t= ,得到
>﹣1,解不等式即可.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用函數(shù)的值域和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的.事實(shí)上,如果在函數(shù)的值域中存在一個最。ù螅⿺(shù),這個數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值與值域,其實(shí)質(zhì)是相同的;當(dāng)時,拋物線開口向上,函數(shù)在
上遞減,在
上遞增;當(dāng)
時,拋物線開口向下,函數(shù)在
上遞增,在
上遞減.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+alnx.
(1)當(dāng)a=1時,求曲線f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(2)當(dāng)a=﹣2時,求函數(shù)f(x)的極值;
(3)若函數(shù)g(x)=f(x)+ 在[1,4]上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ,若方程f(x)=a有四個不同的解x1 , x2 , x3 , x4 , 且x1<x2<x3<x4 , 則x3(x1+x2)+
的取值范圍是( )
A.(﹣1,+∞)
B.(﹣1,1]
C.(﹣∞,1)
D.[﹣1,1)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:參數(shù)方程與極坐標(biāo)系
在平面直角坐標(biāo)系中,直線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù),
為傾斜角),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),
軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線
的極坐標(biāo)方程為
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程,并 求C的焦點(diǎn)F的直角坐標(biāo);
(2)已知點(diǎn),若直線
與C相交于A,B兩點(diǎn),且
,求
的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ex(x3﹣3x+2﹣c)+x(x≥﹣2),若不等式f(x)≥0恒成立,則實(shí)數(shù)c的最大值是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)連續(xù)擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m、n,令平面向量 ,
.
(1)求使得事件“ ”發(fā)生的概率;
(2)求使得事件“ ”發(fā)生的概率;
(3)使得事件“直線 與圓(x﹣3)2+y2=1相交”發(fā)生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若實(shí)數(shù)滿足
,則稱
為函數(shù)
的不動點(diǎn).
(1)求函數(shù)的不動點(diǎn);
(2)設(shè)函數(shù),其中
為實(shí)數(shù).
① 若時,存在一個實(shí)數(shù)
,使得
既是
的不動點(diǎn),又是
的不動點(diǎn)(
是函數(shù)
的導(dǎo)函數(shù)),求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
② 令,若存在實(shí)數(shù)
,使
,
,
,
成各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列,求證:函數(shù)
存在不動點(diǎn).
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