Question

20、已知等腰梯形ABCD中，AB=2CD，

AE

=λ

EC

，橢圓過C、D、E三點，且以A，B為焦點．
（1）若AB=4，梯形的高為

3 5

2

，求橢圓方程；
（2）若-

1

3

≤λ≤-

1

4

，求橢圓離心率e的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）假設橢圓的方程，確定A，C的坐標，代入橢圓方程，即可求得橢圓的方程；
（2）確定點A，E，C坐標，代入橢圓方程，利用-

1

3

≤λ≤-

1

4

，即可求橢圓離心率e的取值范圍．

解答：解：（1）由題意，設橢圓方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，則c=2，C（1，

3 5

2

）
代入橢圓方程可得：

1

a2

+

30 4

b2

=1，∵a²=b²+4，∴a²=16，b²=12
∴橢圓方程為

x2

16

+

y2

12

=1；
（2）設橢圓方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，E（m，n），C（

c

2

，y），
∵A（-c，0），

AE

=λ

EC

，
∴E（

λc 2 -c

1+λ

，

λy

1+λ

）
將E，C的坐標代入

x2

a2

+

y2

b2

=1可得：

( λc 2 -c 1+λ )2

a2

+

( λy 1+λ )2

b2

=1；

c2 4

a2

+

y2

b2

=1
∴e2(

λ

2

-1)2+λ²（1-

e2

4

）=（1+λ）²
∴e²（1-λ）=1+2λ
∴e²=-2+

3

1-λ

∵-

1

3

≤λ≤-

1

4

∴

5

4

≤1-λ≤

4

3

∴

9

4

≤

3

1-λ

≤

12

5

∴

1

4

≤e2≤

2

5

∴

1

2

≤e≤

10

5

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的幾何性質，考查學生分析解決問題的能力，綜合性強．