Question

【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，，點(diǎn)在橢圓上，且的周長(zhǎng)為

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，不過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，點(diǎn)到直線的距離為，且，，三點(diǎn)共線，求的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)焦距和焦點(diǎn)三角形周長(zhǎng)可求得，利用求得，從而可得橢圓的方程；（Ⅱ）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可判斷出，，三點(diǎn)不共線，不符合題意；所以可假設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示出和；由三點(diǎn)共線得到斜率相等關(guān)系，從而可求得；利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式求得和，代入可整理出：，可知當(dāng)時(shí)取最大值.

（Ⅰ）由題意得：，

解得：，

橢圓的方程為

（Ⅱ）設(shè)，

當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，點(diǎn)在軸上，且與點(diǎn)不重合

顯然，，三點(diǎn)不共線，不符合題設(shè)條件

故可設(shè)直線的方程

由，消去整理得：……①

則

， 點(diǎn)的坐標(biāo)為

，，三點(diǎn)共線

此時(shí)方程①為：，則

則，

又

當(dāng)時(shí)，的最大值為