Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）記的導(dǎo)函數(shù)為，若不等式在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，（1）．，可得（1）．利用點(diǎn)斜式即可得出切線方程．

（Ⅱ），．不等式，化為：．令在上恒成立，（1）．可得在上恒成立，化為：即可得出．

（Ⅲ）根據(jù)可得和關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，可得=0在上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，．因此，得出a的取值范圍．并根據(jù)，滿足，代入簡(jiǎn)化，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出結(jié)果．

解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，（1）．

，（1）．

曲線在點(diǎn)（1,）處的切線方程為：，化為：．

（Ⅱ），．

不等式，即，化為：．

令在上恒成立，（1）．

在上恒成立，化為：．

的取值范圍是．

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，

，．

存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，

在上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，．

因此，且，．

解得．

，，滿足，

．

化為：．

，．

化為：，

令（a），，（1）．

，

（a）在上單調(diào)遞增，

．

實(shí)數(shù)的取值范圍是．