(2013•黃浦區(qū)二模)設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,經(jīng)過點F的動直線l交拋物線C于點A(x1,y1),B(x2,y2)且y1y2=-4.
(1)求拋物線C的方程;
(2)若
OE
=2(
OA
+
OB
)
(O為坐標原點),且點E在拋物線C上,求直線l傾斜角;
(3)若點M是拋物線C的準線上的一點,直線MF,MA,MB的斜率分別為k0,k1,k2.求證:當k0為定值時,k1+k2也為定值.
分析:(1)設出直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立,消去x得到關于y的一元二次方程,利用根據(jù)根與系數(shù)的關系即可得出;
(2)根據(jù)向量和(1)的結論可用k表示E點的坐標代入拋物線的方程即可得出直線l的斜率和傾斜角;
(3)利用向量計算公式和(1)中的根與系數(shù)的關系即可得出.
解答:解:(1)根據(jù)題意可知:F(
p
2
,0)
,設直線l的方程為:x=ky+
p
2
,則:
聯(lián)立方程:
x=ky+
p
2
y2=2px
,消去x可得:y2-2pky-p2=0(*),
根據(jù)韋達定理可得:y1y2=-p2=-4,∴p=2,
∴拋物線C的方程:y2=4x.
(2)設E(x0,y0),則:
x0=2(x1+x2)
y0=2(y1+y2)
,由(*)式可得:y1+y2=2pk=4k
∴y0=8k,
x1=ky1+
p
2
x2=ky2+
p
2
,∴x1+x2=k(y1+y2)+p=2pk2+p=4k2+2
x0=8k2+4
y
2
0
=4x0
,∴64k2=4(8k2+4),∴2k2=1,∴k=±
2
2

∴直線l的斜率kl=
1
k
=tanα=±
2
,
∴傾斜角為arctan
2
π-arctan
2

(3)可以驗證該定值為2k0,證明如下:
設M(-1,yM),則:k0=
-yM
2
k1=
y1-yM
x1+1
,k2=
y2-yM
x2+1

x1=ky1+1
x2=ky2+1
,∴
x1+1=ky1+2
x2+1=ky2+2

k1+k2=
y1-yM
x1+1
+
y2-yM
x2+1
=
y1-yM
ky1+2
+
y2-yM
ky2+2

=
(y1-yM)(ky2+2)+(y2-yM)(ky1+2)
(ky1+2)(ky2+2)

=
2ky1y2+2(y1+y2)-yM(k(y1+y2)+4)
k2y1y2+2k(y1+y2)+4

=
-8k+8k-yM(4k2+4)
-4k2+8k2+4
=-yM

∴k1+k2=2k0為定值.
點評:熟練掌握直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為直線方程與拋物線的方程聯(lián)立得到一元二次方程、根據(jù)根與系數(shù)的關系、斜率的計算公式是解題的關鍵.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•黃浦區(qū)二模)已知f(x)=4-
1
x
,若存在區(qū)間[a,b]⊆(
1
3
,+∞)
,使得{y|y=f(x),x⊆[a,b]}=[ma,mb],則實數(shù)m的取值范圍是
(3,4)
(3,4)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•黃浦區(qū)二模)已知點P(x,y)的坐標滿足
x-y+1≥0
x+y-3≥0
x≤2
,O為坐標原點,則|PO|的最小值為
3
2
2
3
2
2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•黃浦區(qū)二模)函數(shù)f(x)=lg(4-2x)的定義域為
(-∞,2)
(-∞,2)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•黃浦區(qū)二模)若復數(shù)z滿足
.
z-1
9z
.
=0
,則z的值為
±3i
±3i

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•黃浦區(qū)二模)在正△ABC中,若AB=2,則
AB
AC
=
2
2

查看答案和解析>>

同步練習冊答案