Question

【題目】甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完 局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽．假設(shè)每局甲獲勝的概率為 ，乙獲勝的概率為 ，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．
（Ⅰ）求甲在4局以內(nèi)（含 4 局）贏得比賽的概率；
（Ⅱ）記 X 為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】解：（I）用A表示甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽的是事件，Ak表示第k局甲獲勝，Bk表示第k局乙獲勝，

則P（Ak）= ，P（Bk）= ，k=1，2，3，4，5

P（A）=P（A1A2）+P（B1A2A3）+P（A1B2A3A4）=（ ）2+ （ ）2+ × ×（ ）2= ．

（Ⅱ）X的可能取值為2，3，4，5．

P（X=2）=P（A1A2）+P（B1B2）= ，

P（X=3）=P（B1A2A3）+P（A1B2B3）= ，

P（X=4）=P（A1B2A3A4）+P（B1A2B3B4）= ，

P（X=5）=P（A1B2A3B4A5）+P（B1A2B3A4B5）+P（B1A2B3A4A5）+P（A1B2A3B4B5）= ，

或者P（X=5）=1﹣P（X=2）﹣P（X=3）﹣P（X=4）= ，

故分布列為：

X	2	3	4	5
P

E（X）=2× +3× +4× +5× =

【解析】（Ⅰ）根據(jù)概率的乘法公式，求出對(duì)應(yīng)的概率，即可得到結(jié)論．

（Ⅱ）利用離散型隨機(jī)變量分別求出對(duì)應(yīng)的概率，即可求X的分布列；以及數(shù)學(xué)期望．

【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用離散型隨機(jī)變量及其分布列，掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱分布列即可以解答此題．