【題目】已知橢圓和直線: ,橢圓的離心率,坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知定點(diǎn),若直線過點(diǎn)且與橢圓相交于兩點(diǎn),試判斷是否存在直線,使以為直徑的圓過點(diǎn)?若存在,求出直線的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(I);(II)或.
【解析】試題分析:(Ⅰ)根據(jù)橢圓中的 ,以及 ,和點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算求得 ;(Ⅱ)分斜率不存在和斜率存在兩種情況討論,當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)直線為 與橢圓方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系計(jì)算 ,從而求得斜率 和直線方程.
試題解析:(Ⅰ)由直線,∴,即——①
又由,得,即,又∵,∴——②
將②代入①得,即,∴, , ,
∴所求橢圓方程是;
(Ⅱ)①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),直線方程為,
則直線與橢圓的交點(diǎn)為,又∵,
∴,即以為直徑的圓過點(diǎn);
②當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為, , ,
由,得,
由,得或,
∴, ,
∴
∵以為直徑的圓過點(diǎn),∴,即,
由, ,
得,∴,
∴,解得,即;
綜上所述,當(dāng)以為直徑的圓過定點(diǎn)時(shí),直線的方程為或.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是等差數(shù)列,滿足, ,數(shù)列滿足, ,且是等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)面BB1C1C為菱形,B1C的中點(diǎn)為O,且AO⊥平面BB1C1C.
(1)證明:B1C⊥AB;
(2)若AC⊥AB1 , ∠CBB1=60°,BC=2,求B1到平面ABC的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(0,2)和B(1,1),且圓心C在直線l:x+y+5=0上.
(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若P(x,y)是圓C上的動(dòng)點(diǎn),求3x﹣4y的最大值與最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校高三4班有50名學(xué)生進(jìn)行了一場(chǎng)投籃測(cè)試,其中男生30人,女生20人.為了了解其投籃成績(jī),甲、乙兩人分別都對(duì)全班的學(xué)生進(jìn)行編號(hào)(1﹣50號(hào)),并以不同的方法進(jìn)行數(shù)據(jù)抽樣,其中一人用的是系統(tǒng)抽樣,另一人用的是分層抽樣.若此次投籃測(cè)試的成績(jī)大于或等于80分視為優(yōu)秀,小于80分視為不優(yōu)秀,如表是甲、乙兩人分別抽取的樣本數(shù)據(jù): 甲抽取的樣本數(shù)據(jù)
編號(hào) | 2 | 7 | 12 | 17 | 22 | 27 | 32 | 37 | 42 | 47 |
性別 | 男 | 女 | 男 | 男 | 女 | 男 | 女 | 男 | 女 | 女 |
投籃成 績(jī) | 90 | 60 | 75 | 80 | 83 | 85 | 75 | 80 | 70 | 60 |
乙抽取的樣本數(shù)據(jù)
編號(hào) | 1 | 8 | 10 | 20 | 23 | 28 | 33 | 35 | 43 | 48 |
性別 | 男 | 男 | 男 | 男 | 男 | 男 | 女 | 女 | 女 | 女 |
投籃成 績(jī) | 95 | 85 | 85 | 70 | 70 | 80 | 60 | 65 | 70 | 60 |
(Ⅰ)在乙抽取的樣本中任取3人,記投籃優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
(Ⅱ)請(qǐng)你根據(jù)乙抽取的樣本數(shù)據(jù)完成下列2×2列聯(lián)表,判斷是否有95%以上的把握認(rèn)為投籃成績(jī)和性別有關(guān)?
優(yōu)秀 | 非優(yōu)秀 | 合計(jì) | |
男 | |||
女 | |||
合計(jì) | 10 |
(Ⅲ)判斷甲、乙各用何種抽樣方法,并根據(jù)(Ⅱ)的結(jié)論判斷哪種抽樣方法更優(yōu)?說明理由.
下面的臨界值表供參考:
P(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d)
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求的極值;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),討論的單調(diào)性;
(Ⅲ)若對(duì)于任意的都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ= . (Ⅰ)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)P(0,2)作斜率為1直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),試求 + 的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖, 是邊長(zhǎng)為2的正方形的邊的中點(diǎn),將與分別沿、折起,使得點(diǎn)與點(diǎn)重合,記為點(diǎn),得到三棱錐.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)求點(diǎn)到平面的距離.
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【題目】設(shè){an}是等差數(shù)列,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , {bn}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列,且a1=b1=1,a3+b2=7,S2+b2=6 (Ⅰ)求{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn .
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