Question

15．已知直線L經(jīng)過點(diǎn)P（$\frac{1}{2}$，1），傾斜角$α=\frac{π}{6}$，在極坐標(biāo)系下，圓C的極坐標(biāo)方程為$ρ=\sqrt{2}cos（{θ-\frac{π}{4}}）$．
（1）寫出直線l的參數(shù)方程，并把圓C的方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離之積．

Answer 1

分析 （1）利用直線參數(shù)方程的定義，我們易得到直線l的參數(shù)方程，再由圓C的極坐標(biāo)方程為$ρ=\sqrt{2}cos（{θ-\frac{π}{4}}）$，利用兩角差的余弦公式，我們可得ρ=cosθ+sinθ，進(jìn)而即可得到圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）聯(lián)立直線方程和圓的方程，我們可以得到一個關(guān)于t的方程，由于|t|表示P點(diǎn)到A，B的距離，故點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離之積為|t₁•t₂|，根據(jù)韋達(dá)定理，即可得到答案．

解答 解：（1）直線L經(jīng)過點(diǎn)P（$\frac{1}{2}$，1），傾斜角$α=\frac{π}{6}$，參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）；
圓C的極坐標(biāo)方程為$ρ=\sqrt{2}cos（{θ-\frac{π}{4}}）$，即ρ=cosθ+sinθ，化為直角坐標(biāo)方程x²+y²=x+y；
（2）直線l的參數(shù)方程代入圓的方程，可得t²+$\frac{1}{2}t$-$\frac{1}{4}$=0，
∴|PA||PB|=|t₁•t₂|=$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是直線與圓的方程的應(yīng)用，點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，其中準(zhǔn)確理解直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，極坐標(biāo)方程中ρ，θ的幾何意義，是解答本題的關(guān)鍵．