已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點,短軸長為2,一條準(zhǔn)線的方程為l:x=2.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點,F是橢圓的右焦點,點M是直線l上的動點,過點F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點N,求證:線段ON的長為定值.
(1) +y2=1   (2)見解析
(1)∵橢圓C的短軸長為2,橢圓C的一條準(zhǔn)線為l:x=2,
∴不妨設(shè)橢圓C的方程為+y2=1.
∴==2,即c=1.
∴橢圓C的方程為+y2=1.
(2)F(1,0),右準(zhǔn)線為l:x=2.設(shè)N(x0,y0),
則直線FN的斜率為kFN=,直線ON的斜率為kON=.
∵FN⊥OM,∴直線OM的斜率為kOM=-.
∴直線OM的方程為y=-x,
點M的坐標(biāo)為M(2,-).
∴直線MN的斜率為kMN=.
∵MN⊥ON,∴kMNkON=-1.
∴·=-1.
∴+2(x0-1)+x0(x0-2)=0,即+=2.
∴ON=為定值.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓E:+=1(a>b>0),以拋物線y2=8x的焦點為頂點,且離心率為.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若F為橢圓E的左焦點,O為坐標(biāo)原點,直線l:y=kx+m與橢圓E相交于A、B兩點,與直線x=-4相交于Q點,P是橢圓E上一點且滿足=+,證明·為定值,并求出該值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，設(shè)橢圓：的離心率，頂點的距離為,為坐標(biāo)原點.

（1）求橢圓的方程；
（2）過點作兩條互相垂直的射線，與橢圓分別交于兩點.
（�。┰嚺袛帱c到直線的距離是否為定值.若是請求出這個定值，若不是請說明理由；
（ⅱ）求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

過橢圓右焦點且斜率為1的直線被橢圓截得的弦MN的長為（   ）
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若已知中心在原點的橢圓與雙曲線有公共焦點,且左、右焦點分別為F1,F2,且兩條曲線在第一象限的交點為P,△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形.若|PF1|=10,橢圓與雙曲線的離心率分別為e1,e2,則e1·e2的取值范圍是(　　)
A．(0,+∞)B．(,+∞)
C．(,+∞)D．(,+∞)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

斜率為1的直線l與橢圓+y2=1交于不同兩點A,B,則|AB|的最大值為(　　)
A．2B．
C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知F1,F2分別是橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點,以原點O為圓心,OF1為半徑的圓與橢圓在y軸左側(cè)交于A,B兩點,若△F2AB是等邊三角形,則橢圓的離心率等于　　　　.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知焦點在x軸上的橢圓的離心率為,且它的長軸長等于圓C:x2+y2-2x-15=0的半徑,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　)
A．+=1B．+=1
C．+y2=1D．+=1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

過橢圓＝1上一點M作圓x2＋y2＝2的兩條切線，點A，B為切點．過A，B的直線l與x軸、y軸分別交于P，Q兩點，則△POQ的面積的最小值為(　　)
A．B．C．1D．

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