如圖,斜三棱柱ABC-A'B'C'中,底面是邊長為a的正三角形,側棱長為b,側棱AA'與底面相鄰兩邊AB,AC都成45°角.

(Ⅰ)求此斜三棱柱的表面積.
(Ⅱ)求三棱錐B'-ABC的體積.

（1）(+1)ab+a2；（2）.

解析試題分析：（1）要求表面積，最難求的是面的面積，要分析它的特征，如圖，過A'作A'D⊥平面ABC于點D,過點D作DE⊥AB于點E,DF⊥AC于點F,連接A'E,A'F,AD.由題意可知∠A'AE=∠A'AF=45°,AA'=AA',于是Rt△A'AE≌Rt△A'AF.，因此A'E=A'F,從而可得DE=DF.故AD平分∠BAC,又∵AB=AC,∴BC⊥AD.故BC⊥AA'.∵AA'∥BB',∴BC⊥BB'.因此四邊形BCC'B'是矩形,故斜三棱柱的側面積為2×a×bsin45°+ab=(+1)ab.又∵斜三棱柱的底面積為2×a2=a2,∴斜三棱柱的表面積為(+1)ab+a2.（2）求B'-ABC的體積，要求出底面ABC的面積，高的求解根據(jù)，，，
所以.
試題解析：

（1）如圖，過A'作A'D⊥平面ABC于點D,過點D作DE⊥AB于點E,DF⊥AC于點F,連接A'E,A'F,AD.
由題意可知∠A'AE=∠A'AF=45°,AA'=AA',于是Rt△A'AE≌Rt△A'AF.
因此A'E=A'F,從而可得DE=DF.故AD平分∠BAC,
又∵AB=AC,∴BC⊥AD.故BC⊥AA'.∵AA'∥BB',∴BC⊥BB'.因此四邊形BCC'B'是矩形,故斜三棱柱的側面積為2×a×bsin45°+ab=(+1)ab.
又∵斜三棱柱的底面積為2×a2=a2,∴斜三棱柱的表面積為(+1)ab+a2.
（2）由（1），，，所以.
考點：1.三棱錐體積和表面積的求解.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐中，底面是菱形，，，是的中點，點在側棱上．

（1）求證：⊥平面；
（2）若是的中點，求證：//平面；
（3）若，試求的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知梯形中，，，、分別是、上的點，，．沿將梯形翻折，使平面⊥平面(如圖)．是的中點．

（1）當時，求證：⊥ ；
（2）當變化時，求三棱錐體積的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，斜三棱柱中，側面底面ABC，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，側面是菱形，，E、F分別是、AB的中點．

求證：（1）；
（2）求三棱錐的體積.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖是一個直三棱柱被削去一部分后的幾何體的直觀圖與三視圖中的側視圖、俯視圖.在直觀圖中,是的中點.又已知側視圖是直角梯形,俯視圖是等腰直角三角形,有關數(shù)據(jù)如圖所示.

(Ⅰ)求證:EM∥平面ABC;
(Ⅱ)求出該幾何體的體積.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中,AB//CD,AD⊥AB,AB=2,AD=,AA1=3,E為CD上一點,DE=1,EC=3

(1)證明:BE⊥平面BB1C1C;
(2)求點到平面EA1C1的距離.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

用斜二測畫法畫出右圖中五邊形ABCDE的直觀圖.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）如圖，三棱柱中，，，。

（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）若，，求三棱柱的體積。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖所示，已知在圓錐SO中，底面半徑r＝1，母線長l＝4，M為母線SA上的一個點，且SM＝x，從點M拉一根繩子，圍繞圓錐側面轉到點A，求：

(1)設f(x)為繩子最短長度的平方，求f(x)表達式；
(2)繩子最短時，頂點到繩子的最短距離；
(3)f(x)的最大值．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案