Question

設函數(shù)f（x）的定義域為D，值域為B，如果存在函數(shù)x=g（t），使得函數(shù)y=f（g（t））的值域仍然為B，那么，稱函數(shù)x=g（t）是函數(shù)f（x）的一個等值域變換．
（Ⅰ）判斷下列x=g（t）是不是f（x）的一個等值域變換？說明你的理由：
①f（x）=2x+1，x∈R，x=g（t）=t²-2t+3，t∈R；
②f（x）=x²-x+c，x∈R，c是常數(shù)，x=g（t）=2^t，t∈R；
（Ⅱ）設f(x)=log2x(x∈R+)，x=g（t）=at²+2t+1，若x=g（t）是函數(shù)f（x）的一個等值域變換，求實數(shù)a的取值范圍，并寫出x=g（t）的一個定義域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用新定義判定①、②中的函數(shù)是否為一個等值域變換．
（Ⅱ）由f(g(t))=log2(at2+2t+1)是一個等值域變換，討論a的值，使f（g（t））、f（x）值域相等，從而求出a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）①∵t∈R，∴x=g（t）=t²-2t+3=（t-1）²+2∈[2，+∞）；
∴f（g（t））=2g（t）+1∈[5，+∞）；
又x∈R時，f（x）=2x+1∈R，
∴x=g（t）不是f（x）的一個等值域變換．
②∵t∈R，∴x=g（t）=2^t∈（0，+∞）；
又f(x)=x2-x+c=(x-

1

2

)2+c-

1

4

，
∴x∈R時f(x)∈[c-

1

4

，+∞)；g（t）∈（0，+∞）時f(g(t))∈[c-

1

4

，+∞)；
∴x=g（t）=2^t是f（x）=x²-x+c的一個等值域變換．
（Ⅱ）∵f(g(t))=log2(at2+2t+1)，
當a=0時，f（g（t））=log₂（2t+1），定義域為(-

1

2

，+∞)，值域為R；
此時x=g（t）是f（x）的一個等值域變換；
當a≠0時，

a＞0 △≤0

，解得0＜a≤1，又由x=at²+2t+1＞0得f（g（t））定義域為(-∞，

-1- 1-a

a

)∪(

-1+ 1-a

a

，+∞)，值域為R；
此時x=g（t）是f（x）的一個等值域變換；
綜上當x=g（t）是f（x）的一個等值域變換時，實數(shù)a的取值范圍為[0，1]；
當a=0時，f（g（t））定義域為(-

1

2

，+∞)，
當0＜a≤1時，f（g（t））定義域為(-∞，

-1- 1-a

a

)∪(

-1+ 1-a

a

，+∞)．

點評：本題考查了新定義下的一次函數(shù)與二次函數(shù)的定義域值域問題，是中檔題中的易錯題．