Question

（本小題共13分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，為橢圓的上頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且△是等腰直角三角形．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）是否存在直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)， 且使點(diǎn)為△的垂心（垂心：三角形三邊高線(xiàn)的交點(diǎn)）？若存在，求出直線(xiàn)的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）由△是等腰直角三角形，得，，

故橢圓方程為．    　　　　                …………5分

（Ⅱ）假設(shè)存在直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，且為△的垂心，

設(shè)，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052601110591788514/SYS201205260113070271788319_DA.files/image012.png">，，故．                     …………7分

于是設(shè)直線(xiàn)的方程為，

由得．

由，得， 且,．    ……9分

由題意應(yīng)有，又，

故，

得．

即．

整理得．

解得或．                               …………12分

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，△不存在，故舍去．

當(dāng)時(shí)，所求直線(xiàn)存在，且直線(xiàn)的方程為．

                                                     …………13分

【解析】本題考查橢圓的方程和直線(xiàn)與橢圓的相交問(wèn)題，考查學(xué)生利用待定系數(shù)法和解析法的解題能力. 待定系數(shù)法：如果題目給出是何曲線(xiàn)，可根據(jù)題目條件，恰當(dāng)?shù)脑O(shè)出曲線(xiàn)方程，然后借助條件進(jìn)一步確定求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)從“定形”“定式”“定量”三個(gè)方面去思考�！岸ㄐ巍笔侵笇�(duì)稱(chēng)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在哪條對(duì)稱(chēng)軸上；“定式”是指根據(jù)“形”設(shè)出相應(yīng)的橢圓方程的具體形式；“定量”是指利用定義法或待定系數(shù)法確定的值.本題第一問(wèn)利用橢圓的離心率和直線(xiàn)與橢圓相切判別式為0得到兩個(gè)等式求解的值；關(guān)于直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系的存在性問(wèn)題，一般先假設(shè)存在滿(mǎn)足題意的元素，經(jīng)過(guò)推理論證，如果得到可以成立的結(jié)果，就可以作出存在的結(jié)論；若得到與已知條件、定義、公理、定理、性質(zhì)相矛盾的量，則說(shuō)明假設(shè)不成立.本題的第二問(wèn)就是利用這個(gè)解題思路，借助韋達(dá)定理和距離公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化和探索.