Question

設函數(shù)f（x）=lnx+．
（I）若函數(shù)f（x）的圖象上任意一點P（x，y）處切線的斜率k≤，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當a=0時，若x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，證明：；
（Ⅲ）當a=0時，若方程m[f（x）+g（x）]=（m＞0）有唯一解，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知，k=f′（x）=在（0，+∞）上恒成立，只需a≥（）max，
（Ⅱ）（Ⅱ）當a=0時，F(xiàn)（x）=f（1+e^x）-g（x）=ln（1+e^x）-x，（x∈R），利用作差法，判斷的正負號，進行證明．
（Ⅲ）當a=0時，方程m[f（x）+g（x）]=（m＞0）有唯一解，即為x²-2mlnx-2mx=0有唯一解，
設H（x）=x²-2mlnx-2mx，利用導數(shù)研究解決．
解答：解：（I）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），由題意k=f′（x）=在（0，+∞）上恒成立．，所以a≥（）max，當x0=1時，
（）max=，∴a
（Ⅱ）當a=0時，F(xiàn)（x）=f（1+e^x）-g（x）=ln（1+e^x）-x，（x∈R），設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則=ln（1+e^x₁）+ln（1+e^x₂）-x₁-x₂-2[ln（1+）-]
=ln（1+e^x₁）（1+e^x₂）-ln（1+）²
=ln（1+e^x₁+e^x₂₊）-ln（1+2+e^x₁+x₂），
∵e^x₁＞0，e^x₂＞0，且x₁≠x₂，∴+e^x₁+e^x₂＞=2，
1+e^x₁+e^x₂₊）＞1+2+e^x₁+x₂），
ln（1+e^x₁+e^x₂₊）＞ln（1+2+e^x₁+x₂），
∴＞0
即；
（Ⅲ）當a=0時，方程m[f（x）+g（x）]=（m＞0）有唯一解，即為x²-2mlnx-2mx=0有唯一解，
設（x）=x²-2mlnx-2mx，則H′（x）=，令H′（x）=0，則x²-mx-m=0，m＞0，x＞0，∴＜0（舍去），，
當x∈（0，x₂）時，H′（x）＜0，H（x）在（0，x₂）上單調(diào)遞減
當x∈（x₂，+∞）時，H′（x）＞0，H（x）在（x₂，+∞）上單調(diào)遞增．
當x=x₂時，H（x）取最小值H（x₂），則即兩式相減得2mlnx₂+mx₂-m=0，∵m＞0，∴2lnx₂+x₂-1=0①，
設M（x）=2lnx+x-1，∵x＞0，M（x）是增函數(shù)，∴M（x）=0至多有一解．∵M（1）=0，∴方程①的解為x₂=1，
即=1，解得m=．
點評：本題是函數(shù)與不等式綜合題，考查導數(shù)的幾何意義，基本不等式的應用，利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，綜合性強．