Question

（2011•湖北）如圖，已知正三棱柱ABC=A₁B₁C₁的各棱長都是4，E是BC的中點，動點F在側(cè)棱CC₁上，且不與點C重合．
（1）當(dāng)CF=1時，求證：EF⊥A₁C；
（2）設(shè)二面角C﹣AF﹣E的大小為θ，求tanθ的最小值．

Answer 1

（1）見解析    （2）

（1）過E作EN⊥AC于N，連接EF，NF，AC₁，由直棱柱的性質(zhì)可知，底面ABC⊥側(cè)面A₁C
∴EN⊥側(cè)面A₁C
NF為EF在側(cè)面A₁C內(nèi)的射影
在直角三角形CNF中，CN=1
則由，得NF∥AC₁，又AC₁⊥A₁C，故NF⊥A₁C
由三垂線定理可知EF⊥A₁C
（2）連接AF，過N作NM⊥AF與M，連接ME
由（1）可知EN⊥側(cè)面A₁C，根據(jù)三垂線定理得EM⊥AF
∴∠EMN是二面角C﹣AF﹣E的平面角即∠EMN=θ
設(shè)∠FAC=α則0°＜α≤45°，
在直角三角形CNE中，NE=，在直角三角形AMN中，MN=3sinα
故tanθ=，又0°＜α≤45°∴0＜sinα≤
故當(dāng)α=45°時，tanθ達(dá)到最小值，
tanθ=，此時F與C₁重合