Question

已知函數(shù)f(x)=

2

x

+alnx，a∈R．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線垂直于直線y=x+2，求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出直線的斜率，因為曲線的切線垂直與直線，所以曲線的切線在該點的斜率與直線的斜率乘積為-1，即曲線在該點的導(dǎo)數(shù)與直線的斜率乘積為-1．
（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，再討論a的范圍，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值

解答：解：（Ⅰ）直線y=x+2的斜率為1．
函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=-

2

x2

+

a

x

，
則f′（1）=-

2

1

+

a

1

，所以a=1．（5分）
（Ⅱ）f′（x）=（ax-2）/x²，x∈（0，+∞）．
①當a=0時，在區(qū)間（0，e]上f′（x）=-2/x²，此時f（x）在區(qū)間（0，e]上單調(diào)遞減，
則f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值為F（e）=

2

e

．
②當

2

a

＜0，即a＜0時，在區(qū)間（0，e]上f′（x）＜0，此時f（x）在區(qū)間（0，e]上單調(diào)遞減，
則f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值為f（e）=

2

e

+a．
③當0＜

2

a

＜e，即a＞

2

e

時，
在區(qū)間(0，  

2

a

)上f′（x）＜0，此時f（x）在區(qū)間(0，  

2

a

)上單調(diào)遞減；
在區(qū)間(

2

a

，  e]上f′（x）＞0，此時f（x）在區(qū)間(

2

a

，  e]上單調(diào)遞增；
則f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值為f（

2

a

）=a+aln2．
④當

2

a

≥e，即0＜a≤

2

e

時，
在區(qū)間（0，e]上f′（x）≤0，此時f（x）在區(qū)間（0，e]上為單調(diào)遞減，
則f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值為f（e）=

2

e

+a．
綜上所述，當a≤

2

e

時，f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值為

2

e

+a；
當a＞

2

e

時，f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值為a+aln

2

a

．

點評：該題考查求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，以及直線垂直的位置關(guān)系，要注意討論a的取值范圍，屬于中等題，不算很難