【題目】已知拋物線： ，定點（常數(shù)）的直線與曲線相交于、兩點.

（1）若點的坐標為，求證：

（2）若，以為直徑的圓的位置是否恒過一定點？若存在，求出這個定點，若不存在，請說明理由.

【答案】（1）證明見解析（2））以為直徑的圓恒過定點

【解析】試題分析：（1）要證明∠AED=∠BED，根據(jù)直線的傾斜角與斜率的關系，只要證KAE=-KBE即可，討論直線AB的斜率是否存在，設出直線方程，聯(lián)立拋物線的方程，運用韋達定理和直線的斜率公式，即可得證；（2）設動直線l方程為x=ty+b，表示出B坐標，聯(lián)立l與拋物線解析式，消去x得到關于y的方程，根據(jù)根的判別式等于0得出t與b的關系式，進而設出A與O的坐標，表示出向量AO與向量BO根據(jù)圓周角定理得到兩向量垂直，即數(shù)量積為0，列出關系式，確定出當m=1，n=0時，上式對任意x∈R恒成立，即可得出使得以AB為直徑的圓恒過點O，以及此時O的坐標.

試題解析：（1）（a）當直線垂直于軸時，根據(jù)拋物線的對稱性有， ；

當直線與軸不垂直時，依題意，

可設直線的方程為（， ）

， ，則、兩點的坐標

滿足方程組

消去并整理，得

，

設直線和的斜率分別為， ，則

，

.

綜合（a）（b）可知.

（2）以為直徑的圓恒過定點.提示：證明

練習冊系列答案
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(1)求直方圖中x的值;

(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù);

(3)在月平均用電量為[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四組用戶中,用分層抽樣的方法抽取11戶居民,則月平均用電量在[220,240)的用戶中應抽取多少戶?

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(1)從這10人中隨機抽取3人，記打算生二胎的人數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望；

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⑴寫出列聯(lián)表；⑵判斷產(chǎn)品是否合格與設備改造是否有關，說明理由.

附： ，

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（Ⅰ）求曲線的參數(shù)方程；

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分數(shù)大于等于120分鐘

分數(shù)不足120分

合計

周做題時間不少于15小時

4

22

周做題時間不足15小時

合計

50

（Ⅰ）請完成上面的列聯(lián)表，并判斷能否有99%以上的把握認為“高中生的數(shù)學成績與學生自主學習時間有關”；

（Ⅱ）（ⅰ）按照分層抽樣，在上述樣本中，從分數(shù)大于等于120分和分數(shù)不足120分的兩組學生中抽取9名學生，設抽到的不足120分且周做題時間不足15小時的人數(shù)是，求的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；

（ii） 若將頻率視為概率，從全校大于等于120分的學生中隨機抽取人，求這些人中周做題時間不少于15小時的人數(shù)的期望和方差.

附：

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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